Question: encontar dominio y rango, explicando a detalle cada paso utilizado F(x)=$\frac{x-3}{x+2}$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el dominio y el rango de la función $$F(x)=\frac{x-3}{x+2}$$.
2. **Dominio:**
El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida.
3. **Regla importante para el dominio:**
El denominador no puede ser cero porque la división por cero no está definida.
4. **Encontrar valores prohibidos para $x$:**
Igualamos el denominador a cero y resolvemos:
$$x+2=0$$
$$x=-2$$
5. **Dominio final:**
El dominio es todos los números reales excepto $x=-2$.
6. **Rango:**
El rango es el conjunto de valores que puede tomar $F(x)$.
7. **Para encontrar el rango, despejamos $x$ en función de $y=F(x)$:**
$$y=\frac{x-3}{x+2}$$
Multiplicamos ambos lados por $x+2$:
$$y(x+2)=x-3$$
$$yx+2y=x-3$$
8. **Agrupamos términos con $x$ a un lado:**
$$yx - x = -3 - 2y$$
$$x(y - 1) = -3 - 2y$$
9. **Despejamos $x$:**
$$x=\frac{-3 - 2y}{y - 1}$$
10. **Condición para que $x$ esté definido:**
El denominador $y-1$ no puede ser cero:
$$y - 1 \neq 0$$
$$y \neq 1$$
11. **Conclusión sobre el rango:**
El rango es todos los valores reales excepto $y=1$.
**Respuesta final:**
- Dominio: $$\{x \in \mathbb{R} : x \neq -2\}$$
- Rango: $$\{y \in \mathbb{R} : y \neq 1\}$$