Question: Escuela: 4-107 "Ejército Argentino" Curso: 3° año División: 1° Profesor: Pérez Juan Manuel APELLIDO Y NOMBRE: CALIFICACIÓN: MATEMÁTICA Ecuaciones de la recta que pasa por un punto y su pendiente y sus dos puntos. Resolver los siguientes problemas, con todos sus cálculos analíticamente y graficar cada punto. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $K= (1;-4)$ y es paralela a la recta $y = 2x + 3$ 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $J= (1;-3)$ y es perpendicular a la recta $y = -x + 2$ 3. Encuentre la ecuación de la recta con pendiente $3$ y que pasa por el punto $C= (2;-2)$. 4. Encuentre la ecuación explicitada de la recta que pasa por los puntos $A= (3;1)$ y $B= (-4;5)$. 5. Determina si las rectas $x + 4y - 2 = 0$ y $-6x - 2y + 1 = 0$ son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$ $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

1. Problema: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $K= (1;-4)$ y es paralela a la recta $y = 2x + 3$. 2. La pendiente de la recta dada es $m = 2$ porque está en forma $y = mx + b$. 3. La recta buscada tiene la misma pendiente $m = 2$ porque es paralela. 4. Usamos la fórmula punto-pendiente: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ con $x_1 = 1$, $y_1 = -4$, $m = 2$. 5. Sustituimos: $$y - (-4) = 2(x - 1)$$ $$y + 4 = 2x - 2$$ 6. Simplificamos: $$y = 2x - 2 - 4$$ $$y = 2x - 6$$ --- 1. Problema: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $J= (1;-3)$ y es perpendicular a la recta $y = -x + 2$. 2. La pendiente de la recta dada es $m_1 = -1$. 3. La pendiente de la recta perpendicular es $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1} = 1$. 4. Usamos la fórmula punto-pendiente con $x_1=1$, $y_1=-3$, $m=1$: $$y - (-3) = 1(x - 1)$$ $$y + 3 = x - 1$$ 5. Simplificamos: $$y = x - 1 - 3$$ $$y = x - 4$$ --- 1. Problema: Encuentre la ecuación de la recta con pendiente $3$ y que pasa por el punto $C= (2;-2)$. 2. Usamos la fórmula punto-pendiente: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ con $m=3$, $x_1=2$, $y_1=-2$. 3. Sustituimos: $$y - (-2) = 3(x - 2)$$ $$y + 2 = 3x - 6$$ 4. Simplificamos: $$y = 3x - 6 - 2$$ $$y = 3x - 8$$ --- 1. Problema: Encuentre la ecuación explicitada de la recta que pasa por los puntos $A= (3;1)$ y $B= (-4;5)$. 2. Calculamos la pendiente: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{-4 - 3} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$$ 3. Usamos la fórmula punto-pendiente con $x_1=3$, $y_1=1$, $m = -\frac{4}{7}$: $$y - 1 = -\frac{4}{7}(x - 3)$$ 4. Expandimos: $$y - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{12}{7}$$ 5. Sumamos 1 a ambos lados: $$y = -\frac{4}{7}x + \frac{12}{7} + 1$$ 6. Convertimos 1 a séptimos: $$1 = \frac{7}{7}$$ 7. Sumamos: $$y = -\frac{4}{7}x + \frac{12}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{4}{7}x + \frac{19}{7}$$ --- 1. Problema: Determina si las rectas $x + 4y - 2 = 0$ y $-6x - 2y + 1 = 0$ son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. 2. Pasamos a forma pendiente-intersección $y = mx + b$ para ambas. Para la primera: $$x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow 4y = -x + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$$ Pendiente $m_1 = -\frac{1}{4}$. Para la segunda: $$-6x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow -2y = 6x - 1 \Rightarrow y = -3x + \frac{1}{2}$$ Pendiente $m_2 = -3$. 3. Comprobamos si son paralelas: $m_1 \neq m_2$. 4. Comprobamos si son perpendiculares: $m_1 \cdot m_2 = -\frac{1}{4} \times (-3) = \frac{3}{4} \neq -1$. 5. Conclusión: Las rectas no son ni paralelas ni perpendiculares. --- **Respuestas finales:** 1. $y = 2x - 6$ 2. $y = x - 4$ 3. $y = 3x - 8$ 4. $y = -\frac{4}{7}x + \frac{19}{7}$ 5. Las rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.