Ecuaciones Cuadraticas 1C85Df

1. **Planteamiento del problema:** Resolver la ecuación cuadrática $$x^2 - x - 6 = 0$$ por factorización. 2. **Fórmula y reglas:** Para factorizar una ecuación cuadrática $$ax^2 + bx + c = 0$$, buscamos dos números que multiplicados den $$ac$$ y sumados den $$b$$. 3. **Aplicación:** Aquí $$a=1$$, $$b=-1$$, $$c=-6$$. 4. Buscamos dos números que multiplicados den $$1 imes (-6) = -6$$ y sumados den $$-1$$. Estos números son $$-3$$ y $$2$$. 5. Reescribimos el término del medio: $$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$$. 6. Agrupamos: $$(x^2 - 3x) + (2x - 6) = 0$$. 7. Factorizamos cada grupo: $$x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$$. 8. Sacamos factor común: $$(x + 2)(x - 3) = 0$$. 9. Igualamos cada factor a cero: $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ 10. **Solución:** $$\boxed{x_1 = -2, x_2 = 3}$$. 1. **Planteamiento:** Resolver $$x^2 + 7x = 18$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 7x - 18 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$-18$$ y sumados $$7$$: $$9$$ y $$-2$$. 4. Reescribimos: $$x^2 + 9x - 2x - 18 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(x^2 + 9x) - (2x + 18) = 0$$. 6. Factorizamos: $$x(x + 9) - 2(x + 9) = 0$$. 7. Factor común: $$(x - 2)(x + 9) = 0$$. 8. Soluciones: $$x = 2, x = -9$$. 1. **Planteamiento:** Resolver $$8x - 65 = -x^2$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 8x - 65 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$-65$$ y sumados $$8$$: $$13$$ y $$-5$$. 4. Reescribimos: $$x^2 + 13x - 5x - 65 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(x^2 + 13x) - (5x + 65) = 0$$. 6. Factorizamos: $$x(x + 13) - 5(x + 13) = 0$$. 7. Factor común: $$(x - 5)(x + 13) = 0$$. 8. Soluciones: $$x = 5, x = -13$$. 1. **Planteamiento:** Resolver $$x^2 = 108 - 3x$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 3x - 108 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$-108$$ y sumados $$3$$: $$12$$ y $$-9$$. 4. Reescribimos: $$x^2 + 12x - 9x - 108 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(x^2 + 12x) - (9x + 108) = 0$$. 6. Factorizamos: $$x(x + 12) - 9(x + 12) = 0$$. 7. Factor común: $$(x - 9)(x + 12) = 0$$. 8. Soluciones: $$x = 9, x = -12$$. 1. **Planteamiento:** Resolver $$2x^2 + 7x - 4 = 0$$. 2. Buscamos dos números que multiplicados den $$2 imes (-4) = -8$$ y sumados $$7$$: $$8$$ y $$-1$$. 3. Reescribimos: $$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$$. 4. Agrupamos: $$(2x^2 + 8x) - (x + 4) = 0$$. 5. Factorizamos: $$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$$. 6. Factor común: $$(2x - 1)(x + 4) = 0$$. 7. Soluciones: $$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$ 1. **Planteamiento:** Resolver $$6x^2 = 10 - 11x$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$6x^2 + 11x - 10 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$6 imes (-10) = -60$$ y sumados $$11$$: $$15$$ y $$-4$$. 4. Reescribimos: $$6x^2 + 15x - 4x - 10 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(6x^2 + 15x) - (4x + 10) = 0$$. 6. Factorizamos: $$3x(2x + 5) - 2(2x + 5) = 0$$. 7. Factor común: $$(3x - 2)(2x + 5) = 0$$. 8. Soluciones: $$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$ $$2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$$ 1. **Planteamiento:** Resolver $$20x^2 - 27x = 14$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$20x^2 - 27x - 14 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$20 imes (-14) = -280$$ y sumados $$-27$$: $$-35$$ y $$8$$. 4. Reescribimos: $$20x^2 - 35x + 8x - 14 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(20x^2 - 35x) + (8x - 14) = 0$$. 6. Factorizamos: $$5x(4x - 7) + 2(4x - 7) = 0$$. 7. Factor común: $$(5x + 2)(4x - 7) = 0$$. 8. Soluciones: $$5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}$$ $$4x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{4}$$ 1. **Planteamiento:** Resolver $$7x = 15 - 30x^2$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$30x^2 + 7x - 15 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$30 imes (-15) = -450$$ y sumados $$7$$: $$25$$ y $$-18$$. 4. Reescribimos: $$30x^2 + 25x - 18x - 15 = 0$$. 5. Agrupamos: $$(30x^2 + 25x) - (18x + 15) = 0$$. 6. Factorizamos: $$5x(6x + 5) - 3(6x + 5) = 0$$. 7. Factor común: $$(5x - 3)(6x + 5) = 0$$. 8. Soluciones: $$5x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$$ $$6x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{6}$$ 1. **Planteamiento:** Resolver $$60 = 8x^2 + 157x$$. 2. Pasamos todo a un lado: $$8x^2 + 157x - 60 = 0$$. 3. Buscamos dos números que multiplicados den $$8 imes (-60) = -480$$ y sumados $$157$$. Aquí no hay números enteros, por lo que se puede usar fórmula cuadrática o intentar factorizar con fracciones. 4. Usamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{-157 \pm \sqrt{157^2 - 4 \times 8 \times (-60)}}{2 \times 8}$$ 5. Calculamos discriminante: $$157^2 = 24649$$ $$4 \times 8 \times (-60) = -1920$$ $$\Delta = 24649 + 1920 = 26569$$ 6. Raíz cuadrada: $$\sqrt{26569} = 163$$ 7. Soluciones: $$x = \frac{-157 \pm 163}{16}$$ 8. Para $$+$$: $$x = \frac{-157 + 163}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$ Para $$-$$: $$x = \frac{-157 - 163}{16} = \frac{-320}{16} = -20$$ 9. **Solución:** $$x = \frac{3}{8}, x = -20$$. **Resumen:** Se resolvieron los primeros 9 ejercicios de segundo grado por factorización o fórmula cuadrática siguiendo el método del ejemplo dado.