Question: perfavore sono in 2 media fami questa
1. **Stating the problem:**
Calcoliamo il valore dell'espressione $$10 \left[ \frac{8}{3^2} : \left(\frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right)^3 - \frac{1}{5^2} : \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) \right] : \left[ \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{5} - \frac{2}{15}\right) + \frac{6}{5} \right] - \frac{1}{9}$$.
2. **Formula and rules:**
Ricordiamo che il simbolo ":" indica divisione.
Dobbiamo eseguire le operazioni rispettando l'ordine: parentesi, esponenti, moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, addizioni e sottrazioni.
3. **Calcolo passo passo:**
- Calcoliamo i singoli termini dentro le parentesi:
$$3^2 = 9$$
$$\frac{8}{3^2} = \frac{8}{9}$$
- Somma dentro la parentesi:
$$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
- Eleviamo al cubo:
$$\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$$
- Primo termine della divisione:
$$\frac{8}{9} : \frac{64}{27} = \frac{8}{9} \times \frac{27}{64} = \frac{8 \times 27}{9 \times 64}$$
Semplifichiamo:
$$\frac{8 \times 27}{9 \times 64} = \frac{\cancel{8}^1 \times 27}{9 \times \cancel{64}^8} = \frac{1 \times 27}{9 \times 8} = \frac{27}{72}$$
Semplifichiamo ancora:
$$\frac{27}{72} = \frac{3 \times 9}{8 \times 9} = \frac{3}{8}$$
- Calcoliamo $$\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$
- Somma nel denominatore:
$$\frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$$
- Secondo termine della divisione:
$$\frac{1}{25} : \frac{17}{30} = \frac{1}{25} \times \frac{30}{17} = \frac{30}{425}$$
Semplifichiamo:
$$\frac{30}{425} = \frac{6}{85}$$
- Ora calcoliamo la prima grande parentesi:
$$\frac{3}{8} - \frac{6}{85} = \frac{3 \times 85}{8 \times 85} - \frac{6 \times 8}{85 \times 8} = \frac{255}{680} - \frac{48}{680} = \frac{207}{680}$$
- Calcoliamo la seconda grande parentesi:
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{5} - \frac{2}{15}$$
Troviamo il minimo comune denominatore 30:
$$\frac{25}{30} - \frac{6}{30} - \frac{4}{30} = \frac{25 - 6 - 4}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$
- Sommiamo $$\frac{1}{2} + \frac{6}{5}$$
Troviamo il minimo comune denominatore 10:
$$\frac{5}{10} + \frac{12}{10} = \frac{17}{10}$$
- Ora l'espressione diventa:
$$10 \times \frac{207}{680} : \frac{17}{10} - \frac{1}{9}$$
- Divisione:
$$\frac{207}{680} : \frac{17}{10} = \frac{207}{680} \times \frac{10}{17} = \frac{2070}{11560}$$
Semplifichiamo:
$$\frac{2070}{11560} = \frac{207 \times 10}{1156 \times 10} = \frac{207}{1156}$$
Dividiamo numeratore e denominatore per 23:
$$\frac{207 \div 23}{1156 \div 23} = \frac{9}{50.26}$$
Poiché 1156/23 = 50.26 non è intero, proviamo con 11:
$$207 \div 9 = 23$$
Quindi:
$$\frac{2070}{11560} = \frac{2070 \div 10}{11560 \div 10} = \frac{207}{1156}$$
Proviamo a semplificare con 9:
$$207 \div 9 = 23$$
$$1156 \div 4 = 289$$
Quindi:
$$\frac{207}{1156} = \frac{23 \times 9}{4 \times 289}$$
Non si semplifica ulteriormente, quindi lasciamo così.
- Moltiplichiamo per 10:
$$10 \times \frac{2070}{11560} = \frac{20700}{11560}$$
Semplifichiamo dividendo numeratore e denominatore per 20:
$$\frac{20700 \div 20}{11560 \div 20} = \frac{1035}{578}$$
- Sottraiamo $$\frac{1}{9}$$:
$$\frac{1035}{578} - \frac{1}{9} = \frac{1035 \times 9}{578 \times 9} - \frac{578}{578 \times 9} = \frac{9315}{5202} - \frac{578}{5202} = \frac{8737}{5202}$$
4. **Risposta finale:**
$$\boxed{\frac{8737}{5202}}$$