1. **Problema 1:** Semplificare l'espressione $$\left(\frac{2x-1}{x+1} - 2\right)^2 : \left[\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2}{x+1}\right] - \frac{1}{x-1}$$ 2. **Formula e regole:** - Per la divisione tra frazioni si usa la moltiplicazione per l'inverso. - Semplificare sempre i termini comuni. 3. **Svolgimento:** \begin{align*} &\left(\frac{2x-1}{x+1} - 2\right)^2 : \left[\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2}{x+1}\right] - \frac{1}{x-1} \\ =& \left(\frac{2x-1}{x+1} - \frac{2(x+1)}{x+1}\right)^2 : \left[\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\right] - \frac{1}{x-1} \\ =& \left(\frac{2x-1 - 2x - 2}{x+1}\right)^2 : \left(\frac{4 - 2(x+1)}{(x+1)^2}\right) - \frac{1}{x-1} \\ =& \left(\frac{-3}{x+1}\right)^2 : \left(\frac{4 - 2x - 2}{(x+1)^2}\right) - \frac{1}{x-1} \\ =& \frac{9}{(x+1)^2} : \frac{2 - 2x}{(x+1)^2} - \frac{1}{x-1} \\ =& \frac{9}{(x+1)^2} \times \frac{(x+1)^2}{2 - 2x} - \frac{1}{x-1} \\ =& \frac{9}{2 - 2x} - \frac{1}{x-1} \\ =& \frac{9}{2(1 - x)} - \frac{1}{x-1} \\ =& \frac{9}{2(1 - x)} - \frac{1}{x-1} \\ \text{Notiamo che } 1 - x = -(x-1), \text{quindi} \\ =& \frac{9}{2(- (x-1))} - \frac{1}{x-1} = -\frac{9}{2(x-1)} - \frac{1}{x-1} \\ =& -\frac{9}{2(x-1)} - \frac{2}{2(x-1)} = -\frac{11}{2(x-1)} \end{align*} **Risposta problema 1:** $$-\frac{11}{2(x-1)}$$ --- 2. **Problema 2:** Semplificare $$\left(\frac{a^2+3a+2}{a^2+a-2} - \frac{a^2-3a+2}{a^2 - a - 2} - \frac{4}{1 - a^2}\right) : \frac{4a^3 - 8a^2}{3a^2 - 3a}$$ 3. **Fattorizzazioni:** \begin{align*} &a^2 + 3a + 2 = (a+1)(a+2) \\ &a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1) \\ &a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2) \\ &a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1) \\ &1 - a^2 = (1 - a)(1 + a) = -(a-1)(a+1) \\ &4a^3 - 8a^2 = 4a^2(a - 2) \\ &3a^2 - 3a = 3a(a - 1) \end{align*} 4. **Svolgimento:** \begin{align*} &\left(\frac{(a+1)(a+2)}{(a+2)(a-1)} - \frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a+1)} - \frac{4}{-(a-1)(a+1)}\right) : \frac{4a^2(a-2)}{3a(a-1)} \\ =& \left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} + \frac{4}{(a-1)(a+1)}\right) : \frac{4a^2(a-2)}{3a(a-1)} \\ &\text{Troviamo il minimo comune denominatore } (a-1)(a+1) \\ =& \left(\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)^2}{(a+1)(a-1)} + \frac{4}{(a-1)(a+1)}\right) : \frac{4a^2(a-2)}{3a(a-1)} \\ =& \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2 + 4}{(a-1)(a+1)} : \frac{4a^2(a-2)}{3a(a-1)} \\ &\text{Calcoliamo il numeratore:} \\ &(a+1)^2 - (a-1)^2 + 4 = \left(a^2 + 2a + 1\right) - \left(a^2 - 2a + 1\right) + 4 = (a^2 + 2a + 1) - a^2 + 2a - 1 + 4 = 4a + 4 \\ =& 4(a + 1) \\ &\text{Quindi} \\ =& \frac{4(a+1)}{(a-1)(a+1)} : \frac{4a^2(a-2)}{3a(a-1)} = \frac{4(a+1)}{(a-1)(a+1)} \times \frac{3a(a-1)}{4a^2(a-2)} \\ &\text{Semplifichiamo} \\ =& \frac{\cancel{4}(a+1)}{(a-1)(a+1)} \times \frac{3a(a-1)}{\cancel{4}a^2(a-2)} = \frac{(a+1)}{(a-1)(a+1)} \times \frac{3a(a-1)}{a^2(a-2)} \\ =& \frac{\cancel{(a+1)}}{(a-1)\cancel{(a+1)}} \times \frac{3a\cancel{(a-1)}}{a^2(a-2)} = \frac{3a}{a^2(a-2)} = \frac{3}{a(a-2)} \end{align*} **Risposta problema 2:** $$\frac{3}{a(a-2)}$$ --- 3. **Problema 3:** Risolvere l'equazione $$\frac{2x+1}{3x} - \frac{1}{3x - x^2} = \frac{6x - 5}{9x - 27}$$ 4. **Fattorizzazioni:** \begin{align*} &3x - x^2 = x(3 - x) \\ &9x - 27 = 9(x - 3) \end{align*} 5. **Svolgimento:** \begin{align*} &\frac{2x+1}{3x} - \frac{1}{x(3 - x)} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \\ &\text{Riscriviamo } 3 - x = -(x - 3) \\ &\Rightarrow \frac{2x+1}{3x} - \frac{1}{x(-(x - 3))} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \\ &\Rightarrow \frac{2x+1}{3x} + \frac{1}{x(x - 3)} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \\ &\text{Troviamo il minimo comune denominatore } 9x(x - 3) \\ &\Rightarrow \frac{(2x+1) \cdot 3(x - 3)}{9x(x - 3)} + \frac{9}{9x(x - 3)} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \\ &\Rightarrow \frac{3(2x+1)(x - 3) + 9}{9x(x - 3)} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \\ &\text{Moltiplichiamo entrambi i membri per } 9x(x - 3) \\ &\Rightarrow 3(2x+1)(x - 3) + 9 = (6x - 5) x \\ &\text{Sviluppiamo} \\ &3(2x+1)(x - 3) + 9 = 6x^2 - 5x \\ &3[(2x)(x) - (2x)(3) + 1(x) - 3] + 9 = 6x^2 - 5x \\ &3(2x^2 - 6x + x - 3) + 9 = 6x^2 - 5x \\ &3(2x^2 - 5x - 3) + 9 = 6x^2 - 5x \\ &6x^2 - 15x - 9 + 9 = 6x^2 - 5x \\ &6x^2 - 15x = 6x^2 - 5x \\ &\text{Sottraiamo } 6x^2 \text{ da entrambi i membri} \\ &-15x = -5x \\ &\text{Sottraiamo } -5x \text{ da entrambi i membri} \\ &-15x + 5x = 0 \\ &-10x = 0 \\ &x = 0 \end{align*} 6. **Verifica:** $x=0$ non è ammesso perché denominatore $3x$ sarebbe zero. **Risposta problema 3:** Nessuna soluzione reale valida (dominio escluso $x=0$).