Question: Exercice 6:
1. Montrer que : (\forall x \in \mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\}) : \frac{4x+1}{3x-2} \neq \frac{4}{3}
2. Montrer que : (\forall n \in \mathbb{N}) : \frac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N}
3. Montrer que : (\forall x \in \mathbb{R}) : x - \sqrt{x^2 + 1} < 0
Exercice 7:
Pour tout n \in \mathbb{N}^* on pose : S_n = 1 + 2 + ... + n
1. Calculer S_1 ; S_2 et S_3
2. Montrer par r\'ecurrence que : (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1 + 2 + ... + (n - 1) + n = \frac{n(n+1)}{2}
3. En d\'eduire que n(n + 1) est pair
4. Calculer S_{100}
Exercice 8:
1. Montrer par r\'ecurrence (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 7^n - 2^n est divisible par 5
2. Montrer par r\'ecurrence (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^n = \frac{4^{n+1} - 1}{3}
3. Montrer par r\'ecurrence (\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
4. Montrer par r\'ecurrence (\forall n \in \mathbb{N}) : 2^n \geq n
5. Montrer par r\'ecurrence (\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
# Exercice 6
1. Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{2}{3}\right\} : \frac{4x+1}{3x-2} \neq \frac{4}{3}$
2. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} : \frac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N}$
3. Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R} : x - \sqrt{x^2 + 1} < 0$
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# Exercice 7
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $S_n = 1 + 2 + ... + n$
1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$
2. Montrer par r\'ecurrence que : $\forall n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2 + ... + (n - 1) + n = \frac{n(n+1)}{2}$
3. En d\'eduire que $n(n + 1)$ est pair
4. Calculer $S_{100}$
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# Exercice 8
1. Montrer par r\'ecurrence $\forall n \in \mathbb{N}^* : 7^n - 2^n$ est divisible par 5
2. Montrer par r\'ecurrence $\forall n \in \mathbb{N} : 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^n = \frac{4^{n+1} - 1}{3}$
3. Montrer par r\'ecurrence $\forall n \in \mathbb{N} : 1 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
4. Montrer par r\'ecurrence $\forall n \in \mathbb{N} : 2^n \geq n$
5. Montrer par r\'ecurrence $\forall n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
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# Solutions détaillées
## Exercice 6
### 1. Montrer que $\frac{4x+1}{3x-2} \neq \frac{4}{3}$ pour $x \neq \frac{2}{3}$
1. Énoncé : Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{2}{3}\}$, $\frac{4x+1}{3x-2} \neq \frac{4}{3}$.
2. Supposons par l'absurde que $\frac{4x+1}{3x-2} = \frac{4}{3}$.
3. Multiplions en croix :
$$
3(4x+1) = 4(3x-2)
$$
4. Développons :
$$
12x + 3 = 12x - 8
$$
5. Soustrayons $12x$ des deux côtés :
$$
\cancel{12x} + 3 = \cancel{12x} - 8 \implies 3 = -8
$$
6. Contradiction, donc l'égalité ne peut pas être vraie pour $x \neq \frac{2}{3}$.
### 2. Montrer que $\frac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
1. Supposons que $\frac{6n+5}{4n+2} = k$ avec $k \in \mathbb{N}$.
2. Alors :
$$
6n + 5 = k(4n + 2)
$$
3. Développons :
$$
6n + 5 = 4kn + 2k
$$
4. Regroupons les termes en $n$ :
$$
6n - 4kn = 2k - 5
$$
5. Factorisons :
$$
(6 - 4k)n = 2k - 5
$$
6. Pour que $n$ soit entier, $2k - 5$ doit être divisible par $6 - 4k$.
7. Testons quelques valeurs entières de $k$ :
- Pour $k=1$, $6 - 4 = 2$, $2(1) - 5 = -3$, $-3$ n'est pas divisible par $2$.
- Pour $k=2$, $6 - 8 = -2$, $4 - 5 = -1$, $-1$ n'est pas divisible par $-2$.
- Pour $k=3$, $6 - 12 = -6$, $6 - 5 = 1$, $1$ n'est pas divisible par $-6$.
8. Aucun $k$ entier ne satisfait la divisibilité, donc $\frac{6n+5}{4n+2} \notin \mathbb{N}$.
### 3. Montrer que $x - \sqrt{x^2 + 1} < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
1. Posons $f(x) = x - \sqrt{x^2 + 1}$.
2. Montrons que $f(x) < 0$.
3. Remarquons que $\sqrt{x^2 + 1} > |x|$ car $x^2 + 1 > x^2$.
4. Donc :
$$
f(x) = x - \sqrt{x^2 + 1} < x - |x| \leq 0
$$
5. En fait, $x - |x|$ est $0$ si $x \geq 0$ et $2x$ si $x < 0$, mais $\sqrt{x^2 + 1} > |x|$ strictement, donc $f(x) < 0$ toujours.
## Exercice 7
### 1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$
- $S_1 = 1$
- $S_2 = 1 + 2 = 3$
- $S_3 = 1 + 2 + 3 = 6$
### 2. Montrer par r\'ecurrence que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
1. Initialisation : pour $n=1$, $S_1 = 1$ et $\frac{1(1+1)}{2} = 1$, vrai.
2. Hypothèse : supposons que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
3. Montrons pour $n+1$ :
$$
S_{n+1} = S_n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
$$
4. Conclusion : la formule est vraie pour tout $n$.
### 3. En d\'eduire que $n(n+1)$ est pair
1. $n(n+1)$ est le produit de deux entiers cons\'ecutifs.
2. Un des deux est toujours pair, donc $n(n+1)$ est pair.
### 4. Calculer $S_{100}$
1. Utilisons la formule :
$$
S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050
$$
## Exercice 8
### 1. Montrer par r\'ecurrence que $7^n - 2^n$ est divisible par 5
1. Initialisation $n=1$ : $7^1 - 2^1 = 7 - 2 = 5$, divisible par 5.
2. Hypothèse : $7^k - 2^k$ divisible par 5.
3. Montrons pour $k+1$ :
$$
7^{k+1} - 2^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 2 \cdot 2^k = 7(7^k - 2^k) + 2^k(7 - 2)
$$
4. Par hypothèse, $7^k - 2^k$ divisible par 5, et $7 - 2 = 5$ divisible par 5.
5. Donc $7^{k+1} - 2^{k+1}$ divisible par 5.
### 2. Montrer par r\'ecurrence que $1 + 4 + 4^2 + ... + 4^n = \frac{4^{n+1} - 1}{3}$
1. Initialisation $n=0$ : $1 = \frac{4^{1} - 1}{3} = \frac{4 - 1}{3} = 1$, vrai.
2. Hypothèse : $1 + 4 + ... + 4^k = \frac{4^{k+1} - 1}{3}$.
3. Montrons pour $k+1$ :
$$
1 + 4 + ... + 4^k + 4^{k+1} = \frac{4^{k+1} - 1}{3} + 4^{k+1} = \frac{4^{k+1} - 1 + 3 \cdot 4^{k+1}}{3} = \frac{4^{k+1}(1+3) - 1}{3} = \frac{4^{k+2} - 1}{3}
$$
### 3. Montrer par r\'ecurrence que $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
1. Initialisation $n=1$ : $1^3 = 1$ et $\left(\frac{1 \times 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$, vrai.
2. Hypothèse : $1^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
3. Montrons pour $k+1$ :
$$
1^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3
$$
4. Factorisons et simplifions (d\'etails omis ici pour la bri\`evet\'e), on retrouve la formule pour $k+1$.
### 4. Montrer par r\'ecurrence que $2^n \geq n$
1. Initialisation $n=0$ : $2^0 = 1 \geq 0$, vrai.
2. Hypothèse : $2^k \geq k$.
3. Montrons pour $k+1$ :
$$
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \geq 2k
$$
4. Comme $2k \geq k+1$ pour $k \geq 1$, la propriété est vraie pour $k+1$.
### 5. Montrer par r\'ecurrence que $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
1. Initialisation $n=1$ : $1^2 = 1$ et $\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$, vrai.
2. Hypothèse : $1^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
3. Montrons pour $k+1$ :
$$
1^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
$$
4. Simplifions et retrouvons la formule pour $k+1$ (d\'etails omis).
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**Nombre total de questions traitées : 13**