Question: 3. Zerlegen Sie so weit wie möglich in Faktoren (faktorisieren).
$2m^2 + 3mn - 9n^2$
1. **Problemstellung:** Faktorisieren Sie den Ausdruck $$2m^2 + 3mn - 9n^2$$ so weit wie möglich.
2. **Formel und Regeln:** Um einen quadratischen Ausdruck der Form $$ax^2 + bx + c$$ zu faktorisieren, suchen wir zwei Zahlen, deren Produkt $$a \cdot c$$ und deren Summe $$b$$ ist.
3. **Berechnung:** Hier ist $$a = 2$$, $$b = 3$$, $$c = -9$$.
4. Berechnen Sie $$a \cdot c = 2 \times (-9) = -18$$.
5. Finden Sie zwei Zahlen, die $$-18$$ multiplizieren und $$3$$ addieren: Diese Zahlen sind $$6$$ und $$-3$$, denn $$6 \times (-3) = -18$$ und $$6 + (-3) = 3$$.
6. Schreiben Sie den mittleren Term um:
$$2m^2 + 6mn - 3mn - 9n^2$$
7. Gruppieren Sie die Terme:
$$(2m^2 + 6mn) + (-3mn - 9n^2)$$
8. Faktorisieren Sie jede Gruppe:
$$2m(m + 3n) - 3n(m + 3n)$$
9. Ziehen Sie den gemeinsamen Faktor $$m + 3n$$ heraus:
$$(2m - 3n)(m + 3n)$$
10. **Endergebnis:** Der faktorisierte Ausdruck ist $$\boxed{(2m - 3n)(m + 3n)}$$.