1. **Énoncé du problème :** Soit $f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = \frac{3x + 5}{x - 2}.$$ Nous devons : - Montrer que $f$ est injective. - Déterminer $f^{-1}(5)$. - Déterminer $f(]2; +\infty[)$ et $f^{-1}(]-\infty; 3])$. 2. **Montrer que $f$ est injective :** Une fonction est injective si pour tout $x_1, x_2$ dans le domaine, $f(x_1) = f(x_2)$ implique $x_1 = x_2$. Partons de l'égalité : $$\frac{3x_1 + 5}{x_1 - 2} = \frac{3x_2 + 5}{x_2 - 2}.$$ En multipliant en croix : $$ (3x_1 + 5)(x_2 - 2) = (3x_2 + 5)(x_1 - 2).$$ Développons : $$3x_1 x_2 - 6x_1 + 5x_2 - 10 = 3x_2 x_1 - 6x_2 + 5x_1 - 10.$$ Simplifions les termes communs : $$-6x_1 + 5x_2 = -6x_2 + 5x_1.$$ Réarrangeons : $$-6x_1 + 5x_2 + 6x_2 - 5x_1 = 0,$$ $$(-6x_1 - 5x_1) + (5x_2 + 6x_2) = 0,$$ $$-11x_1 + 11x_2 = 0,$$ $$11(x_2 - x_1) = 0.$$ Donc, $$x_2 = x_1.$$ Cela montre que $f$ est injective. 3. **Déterminer $f^{-1}(5)$ :** On cherche $x$ tel que $$f(x) = 5,$$ soit $$\frac{3x + 5}{x - 2} = 5.$$ Multiplions en croix : $$3x + 5 = 5(x - 2),$$ $$3x + 5 = 5x - 10,$$ $$5 + 10 = 5x - 3x,$$ $$15 = 2x,$$ $$x = \frac{15}{2} = 7.5.$$ Donc, $$f^{-1}(5) = \{7.5\}.$$ 4. **Déterminer $f(]2; +\infty[)$ :** Étudions le comportement de $f$ sur $]2; +\infty[$. - Le dénominateur $x-2 > 0$. - La fonction est continue sur cet intervalle. Calculons la limite en $2^+$ : $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{3x + 5}{x - 2} = +\infty.$$ Calculons la limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 5}{x - 2} = 3.$$ La fonction est strictement décroissante sur $]2; +\infty[$ (car dérivée négative), donc $$f(]2; +\infty[) = ]3; +\infty[.$$ 5. **Déterminer $f^{-1}(]-\infty; 3])$ :** On cherche l'ensemble des $x$ tels que $$f(x) \leq 3.$$ Posons $$\frac{3x + 5}{x - 2} \leq 3.$$ Multiplions par $x-2$ en considérant le signe : - Si $x-2 > 0$ (i.e. $x > 2$), alors inégalité devient $$3x + 5 \leq 3(x - 2),$$ $$3x + 5 \leq 3x - 6,$$ $$5 \leq -6,$$ ce qui est faux. - Si $x-2 < 0$ (i.e. $x < 2$), alors on inverse le sens de l'inégalité : $$3x + 5 \geq 3(x - 2),$$ $$3x + 5 \geq 3x - 6,$$ $$5 \geq -6,$$ ce qui est vrai pour tout $x < 2$. Donc, $$f^{-1}(]-\infty; 3]) = ]-\infty; 2[.$$