1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 0,05(x - 12)(x + 18)$ avec $\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}$. Il faut déterminer quelle affirmation parmi A, B, C, D est vraie. 2. **Étude du signe de $f(x)$** : Les racines de $f$ sont $x=12$ et $x=-18$ car $f(x)=0$ pour ces valeurs. 3. **Signe de $f(x)$ selon les intervalles** : - Pour $x < -18$, $(x-12)<0$ et $(x+18)<0$, donc $f(x) = 0,05 \times (-) \times (-) > 0$. - Pour $-18 < x < 12$, $(x-12)<0$ et $(x+18)>0$, donc $f(x) = 0,05 \times (-) \times (+) < 0$. - Pour $x > 12$, $(x-12)>0$ et $(x+18)>0$, donc $f(x) = 0,05 \times (+) \times (+) > 0$. 4. **Conclusion sur le signe** : - $f$ est négative sur $(-18,12)$. - $f$ est positive sur $(-\infty,-18)$ et $(12,+\infty)$. 5. **Étude de la croissance/décroissance** : Calculons la dérivée $f'(x)$ : $$ f'(x) = 0,05 \left[(x-12)'(x+18) + (x-12)(x+18)'\right] = 0,05 (1 \times (x+18) + (x-12) \times 1) = 0,05 (2x + 6) = 0,1x + 0,3 $$ 6. **Signe de $f'(x)$** : - $f'(x) = 0$ pour $x = -3$. - Pour $x < -3$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. - Pour $x > -3$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. 7. **Analyse des affirmations** : - A) $x \in [-18,12]$ : $f$ est négative sur $(-18,12)$, mais aux bornes $f(-18)=0$ et $f(12)=0$, donc $f$ n'est pas strictement négative sur tout l'intervalle. L'affirmation est fausse. - B) $x \in [-12,18]$ : Sur $[-12,12]$, $f$ est négative, donc $f$ n'est pas positive sur cet intervalle. Fausse. - C) $x \in ]-\infty,3]$ : $f$ est décroissante pour $x < -3$ mais croissante pour $x > -3$, donc pas décroissante sur tout $]-\infty,3]$. Fausse. - D) $x \in [-6,+\infty[$ : $f$ est croissante pour $x > -3$, donc sur $[-6,-3]$ elle est décroissante, pas croissante. Fausse. **Aucune affirmation n'est strictement vraie telle que formulée.** Cependant, si on considère que $f$ est négative sur $[-18,12]$ en incluant les zéros aux bornes, l'affirmation A est la plus proche d'être correcte. **Réponse finale : A est la plus vraie.**