Question: 基本 例題 25 分数の数列の和 … 部分分数に分解
数列 $\frac{1}{1\cdot 3}$, $\frac{1}{3\cdot 5}$, $\frac{1}{5\cdot 7}$, ……, $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の和を求めよ。
指針
第$k$項を$k$の式で表し $\sum_{k=1}^n$(第$k$項) を計算する、という今までの方針では解決できそうにない。ここでは，各項は分数で，分母は積の形になっていることに注目し，第$k$項を差の形に表すことを考える。この変形を，部分分数に分解するという。
$\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}$ を計算すると $= \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$
よって $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$
この式に $k=1, 2, \dots, n$ を代入して辺々を加えると，隣り合う項が消える。
1. 問題は数列の和 $S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めることです。
2. 第$k$項は分母が積の形 $ (2k-1)(2k+1) $ になっているので、部分分数分解を使います。
3. 部分分数分解の公式を使います：
$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$
これは、
$$\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} = \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$$
を利用しています。
4. これを和に代入すると、
$$S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$
5. 和の中身は隣り合う項が打ち消し合う形（テレスコーピング）なので、
$$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$
6. 中間の項はすべて消えて、
$$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$$
7. したがって、求める和は
$$\boxed{\frac{n}{2n+1}}$$
8. まとめると、部分分数分解を使うことで複雑な積の形の分数の和を簡単に計算できました。