Question: 7. (4p) Beschouw de functie met voorschrift $y = 2x - x^2$. We passen achtereenvolgens de volgende transformaties toe:
• Horizontale verschuiving $v(-1; 0)$;
• Horizontale uitrekking met factor $\frac{1}{2}$;
• Spiegeling om de y-as;
• Verticale verschuiving $v(0; 3)$
Het voorschrift van de nieuwe functie die zo ontstaat, is van de vorm $y = ax^2 + bx + \gamma$. Be-
paal $a$, $\beta$, $\gamma \in \mathbb{R}$. Werk stap voor stap en noteer ook voor elke tussenstap zo eenvoudig mogelijk het voorschrift.
1. **Probleemstelling:** We starten met de functie $$y = 2x - x^2$$ en passen vier transformaties toe: horizontale verschuiving, horizontale uitrekking, spiegeling om de y-as, en verticale verschuiving. We zoeken het nieuwe voorschrift in de vorm $$y = ax^2 + bx + \gamma$$.
2. **Beginfunctie:** $$y = 2x - x^2$$.
3. **Stap 1: Horizontale verschuiving $v(-1;0)$**
Een horizontale verschuiving met vector $(-1,0)$ betekent dat we $x$ vervangen door $x + 1$ in de functie:
$$y = 2(x+1) - (x+1)^2$$
Uitwerken:
$$y = 2x + 2 - (x^2 + 2x + 1) = 2x + 2 - x^2 - 2x - 1$$
Vereenvoudigen:
$$y = -x^2 + (2x - 2x) + (2 - 1) = -x^2 + 1$$
4. **Stap 2: Horizontale uitrekking met factor $\frac{1}{2}$**
Een horizontale uitrekking met factor $\frac{1}{2}$ betekent dat we $x$ vervangen door $2x$:
$$y = - (2x)^2 + 1 = -4x^2 + 1$$
5. **Stap 3: Spiegeling om de y-as**
Spiegelen om de y-as betekent dat we $x$ vervangen door $-x$:
$$y = -4(-x)^2 + 1 = -4x^2 + 1$$
Omdat $(-x)^2 = x^2$, verandert de functie niet bij deze spiegeling.
6. **Stap 4: Verticale verschuiving $v(0;3)$**
Een verticale verschuiving met vector $(0,3)$ betekent dat we $3$ optellen bij $y$:
$$y = -4x^2 + 1 + 3 = -4x^2 + 4$$
7. **Resultaat:** De nieuwe functie is
$$y = -4x^2 + 0x + 4$$
Dus:
$$a = -4, \quad b = 0, \quad \gamma = 4$$