Question: 1.) f(x) = 3x + 5
2.) f(x) = \frac{2x + 3}{4x - 5}
a.) carilah rumus nilai f^{-1}(x)
b.) nilai f^{-1}(-1)
1. **Menyatakan masalah:**
Diberikan fungsi:
$$f(x) = 3x + 5$$
dan
$$f(x) = \frac{2x + 3}{4x - 5}$$
Tugasnya adalah mencari rumus fungsi invers $$f^{-1}(x)$$ dan menghitung nilai $$f^{-1}(-1)$$ untuk fungsi kedua.
2. **Mencari rumus fungsi invers $$f^{-1}(x)$$ untuk fungsi pertama:**
Fungsi pertama adalah linear:
$$f(x) = 3x + 5$$
Langkah-langkah:
1. Ganti $$f(x)$$ dengan $$y$$:
$$y = 3x + 5$$
2. Tukar posisi $$x$$ dan $$y$$ untuk mencari invers:
$$x = 3y + 5$$
3. Selesaikan untuk $$y$$:
$$x - 5 = 3y$$
$$y = \frac{x - 5}{3}$$
Jadi, rumus fungsi inversnya adalah:
$$f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3}$$
3. **Mencari rumus fungsi invers $$f^{-1}(x)$$ untuk fungsi kedua:**
Fungsi kedua adalah:
$$f(x) = \frac{2x + 3}{4x - 5}$$
Langkah-langkah:
1. Ganti $$f(x)$$ dengan $$y$$:
$$y = \frac{2x + 3}{4x - 5}$$
2. Tukar posisi $$x$$ dan $$y$$:
$$x = \frac{2y + 3}{4y - 5}$$
3. Kalikan silang:
$$x(4y - 5) = 2y + 3$$
$$4xy - 5x = 2y + 3$$
4. Kumpulkan semua suku $$y$$ di satu sisi:
$$4xy - 2y = 5x + 3$$
5. Faktorkan $$y$$:
$$y(4x - 2) = 5x + 3$$
6. Selesaikan untuk $$y$$:
$$y = \frac{5x + 3}{4x - 2}$$
Jadi, rumus fungsi inversnya adalah:
$$f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{4x - 2}$$
4. **Menghitung nilai $$f^{-1}(-1)$$ untuk fungsi kedua:**
Substitusikan $$x = -1$$ ke rumus invers:
$$f^{-1}(-1) = \frac{5(-1) + 3}{4(-1) - 2} = \frac{-5 + 3}{-4 - 2} = \frac{-2}{-6} = \frac{\cancel{-2}}{\cancel{-6}} = \frac{1}{3}$$
**Jawaban akhir:**
- Rumus fungsi invers fungsi pertama:
$$f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3}$$
- Rumus fungsi invers fungsi kedua:
$$f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{4x - 2}$$
- Nilai $$f^{-1}(-1)$$ untuk fungsi kedua:
$$\frac{1}{3}$$