1. **Problem statement:** Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph zum Koordinatenursprung symmetrisch ist. Der Graph hat eine Nullstelle bei $x=2$, die Steigung in dieser Nullstelle beträgt 8. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Da der Graph zum Ursprung symmetrisch ist, hat die Funktion nur ungerade Potenzen: $$f(x) = a x + b x^3$$ 3. **Bedingungen anwenden:** - Nullstelle bei $x=2$ bedeutet: $$f(2) = 0 = 2a + 8b$$ - Steigung bei $x=2$ ist 8, also: $$f'(x) = a + 3b x^2$$ $$f'(2) = a + 12b = 8$$ 4. **Gleichungssystem lösen:** $$\begin{cases} 2a + 8b = 0 \\ a + 12b = 8 \end{cases}$$ 5. **Erste Gleichung nach $a$ auflösen:** $$2a + 8b = 0 \Rightarrow 2a = -8b \Rightarrow a = \cancel{\frac{1}{2}} \times \cancel{\frac{1}{2}} (-8b) = -4b$$ 6. **In zweite Gleichung einsetzen:** $$-4b + 12b = 8 \Rightarrow 8b = 8 \Rightarrow b = 1$$ 7. **$a$ berechnen:** $$a = -4 \times 1 = -4$$ 8. **Endgültige Funktion:** $$f(x) = -4x + x^3$$ **Antwort:** Die gesuchte Funktion ist $$f(x) = -4x + x^3$$.