Question: TERHAD 7 3472/2
3 Diberi bahawa A(-4,9) dan B(-7,3) terletak pada suatu satah Cartes.
It is given that A(-4,9) and B(-7,3) lie on a Cartesian plane.
(a) Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis AB dan melalui titik
B. Seterusnya, cari titik C dengan keadaan C ialah titik persilangan garis lurus
tersebut dengan paksi-x.
Find the equation of the straight line which is perpendicular to the straight line
AB and passing through point B. Hence, find the point C where C is the intersection
point of the straight line with x-axis.
[4 markah]
[4 marks]
(b) Suatu titik bergerak P bergerak dengan keadaan PB = 2/3 PC. Cari persamaan
lokus P.
A point P moves such that PB = 2/3 PC. Find the equation of the locus P.
[3 markah]
[3 marks]
Jawapan / Answer:
m = (3 - 9)/(-7 - (-4)) = 2
1. **Nyatakan masalah:**
Diberi titik A(-4,9) dan B(-7,3) pada satah Cartes.
(a) Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis AB dan melalui titik B.
Cari titik C di mana garis ini memotong paksi-x.
2. **Cari kecerunan garis AB:**
$$m_{AB} = \frac{3 - 9}{-7 - (-4)} = \frac{-6}{-3} = 2$$
3. **Cari kecerunan garis yang berserenjang dengan AB:**
Kecerunan garis berserenjang ialah negatif resiprokal:
$$m_{perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{2}$$
4. **Cari persamaan garis lurus yang melalui B(-7,3) dengan kecerunan $m_{perp}$:**
Gunakan formula garis lurus:
$$y - y_1 = m(x - x_1)$$
$$y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 7)$$
5. **Selesaikan persamaan untuk bentuk y:**
$$y - 3 = -\frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$$
$$y = -\frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + 3$$
$$y = -\frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$
6. **Cari titik C di mana garis memotong paksi-x (y=0):**
$$0 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow -\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow x = \cancel{\frac{1}{2}} \times \cancel{-2} = -1$$
Jadi, titik C ialah $$(-1, 0)$$.
7. **Soalan (b): Cari persamaan lokus P dengan syarat $$PB = \frac{2}{3} PC$$:**
Misalkan koordinat P ialah $$(x,y)$$.
8. **Jarak PB:**
$$PB = \sqrt{(x + 7)^2 + (y - 3)^2}$$
9. **Jarak PC:**
$$PC = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$$
10. **Gunakan syarat $$PB = \frac{2}{3} PC$$:**
$$\sqrt{(x + 7)^2 + (y - 3)^2} = \frac{2}{3} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$$
11. **Kuasa dua kedua-dua belah:**
$$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = \frac{4}{9} ((x + 1)^2 + y^2)$$
12. **Kembangkan dan susun:**
$$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = \frac{4}{9} (x + 1)^2 + \frac{4}{9} y^2$$
$$x^2 + 14x + 49 + y^2 - 6y + 9 = \frac{4}{9} x^2 + \frac{8}{9} x + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} y^2$$
13. **Gabungkan semua ke satu sisi:**
$$x^2 - \frac{4}{9} x^2 + 14x - \frac{8}{9} x + 49 - \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4}{9} y^2 - 6y + 9 = 0$$
14. **Sederhanakan koefisien:**
$$\left(1 - \frac{4}{9}\right) x^2 + \left(14 - \frac{8}{9}\right) x + \left(1 - \frac{4}{9}\right) y^2 - 6y + \left(49 - \frac{4}{9} + 9\right) = 0$$
$$\frac{5}{9} x^2 + \frac{118}{9} x + \frac{5}{9} y^2 - 6y + \frac{440}{9} = 0$$
15. **Darabkan seluruh persamaan dengan 9 untuk hilangkan pecahan:**
$$5 x^2 + 118 x + 5 y^2 - 54 y + 440 = 0$$
16. **Ini adalah persamaan lokus P.**