1. **Problemstellung:** Wir sollen eine gerade Funktion 6. Grades finden, die doppelte Nullstellen bei $x=1$ und $x=3$ hat und durch den Punkt $P(0|18)$ verläuft. 2. **Wichtige Regeln:** - Eine gerade Funktion erfüllt $f(-x) = f(x)$. - Gerade Funktionen enthalten nur gerade Potenzen von $x$. - Eine doppelte Nullstelle bei $x=a$ bedeutet, dass $(x-a)^2$ ein Faktor der Funktion ist. 3. **Ansatz:** Da die Funktion 6. Grades und gerade ist, hat sie nur gerade Potenzen von $x$. 4. Die Nullstellen bei $x=1$ und $x=3$ sind doppelt, also sind die Faktoren $(x-1)^2$ und $(x-3)^2$ enthalten. 5. Da die Funktion gerade ist, müssen auch die Faktoren für $x=-1$ und $x=-3$ doppelt sein, also $(x+1)^2$ und $(x+3)^2$. 6. Somit ist die Funktion proportional zu $$f(x) = a(x-1)^2(x+1)^2(x-3)^2(x+3)^2$$ 7. Wir können die Faktoren paarweise zusammenfassen: $$ (x-1)^2(x+1)^2 = (x^2 - 1)^2 $$ $$ (x-3)^2(x+3)^2 = (x^2 - 9)^2 $$ 8. Damit ist $$ f(x) = a (x^2 - 1)^2 (x^2 - 9)^2 $$ 9. Die Funktion soll durch $P(0|18)$ gehen, also gilt: $$ f(0) = 18 $$ 10. Berechnung von $f(0)$: $$ f(0) = a (0^2 - 1)^2 (0^2 - 9)^2 = a ( -1 )^2 ( -9 )^2 = a \cdot 1 \cdot 81 = 81a $$ 11. Setze $f(0) = 18$: $$ 81a = 18 $$ 12. Kürze mit \cancel{81}: $$ \cancel{81}a = 18 \Rightarrow a = \frac{18}{81} = \frac{2}{9} $$ 13. **Endergebnis:** $$ \boxed{f(x) = \frac{2}{9} (x^2 - 1)^2 (x^2 - 9)^2} $$