Question: Giải phương trình: ³√(x+5) + ³√(4−x) = ³√(x+24)
1. **Nêu bài toán:** Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+5} + \sqrt[3]{4-x} = \sqrt[3]{x+24}$$.
2. **Công thức và quy tắc:** Gọi $$a = \sqrt[3]{x+5}$$, $$b = \sqrt[3]{4-x}$$, và $$c = \sqrt[3]{x+24}$$. Phương trình trở thành $$a + b = c$$.
3. **Sử dụng định nghĩa lập phương:** Ta có $$a^3 = x+5$$, $$b^3 = 4-x$$, $$c^3 = x+24$$.
4. **Tính tổng lập phương:** Theo công thức lập phương tổng, ta có:
$$c^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$
5. **Thay giá trị:**
$$x+24 = (x+5) + (4-x) + 3ab \cdot c$$
$$x+24 = 9 + 3abc$$
6. **Rút gọn:**
$$x+24 - 9 = 3abc$$
$$x + 15 = 3abc$$
7. **Tính tích $$abc$$:**
$$abc = a \cdot b \cdot c = \sqrt[3]{(x+5)(4-x)(x+24)}$$
8. **Thay vào:**
$$x + 15 = 3 \sqrt[3]{(x+5)(4-x)(x+24)}$$
9. **Lập phương hai vế:**
$$\left(\frac{x+15}{3}\right)^3 = (x+5)(4-x)(x+24)$$
10. **Viết lại:**
$$\frac{(x+15)^3}{27} = (x+5)(4-x)(x+24)$$
11. **Nhân cả hai vế với 27:**
$$(x+15)^3 = 27 (x+5)(4-x)(x+24)$$
12. **Phát triển và giải phương trình bậc ba:**
- Phát triển vế trái: $$(x+15)^3 = x^3 + 3 \cdot 15 x^2 + 3 \cdot 15^2 x + 15^3 = x^3 + 45 x^2 + 675 x + 3375$$
- Phát triển vế phải:
$$(x+5)(4-x) = 4x + 20 - x^2 - 5x = -x^2 - x + 20$$
Sau đó nhân với $$(x+24)$$:
$$(-x^2 - x + 20)(x+24) = -x^3 - x^2 + 20x - 24x^2 - 24x + 480 = -x^3 - 25 x^2 - 4 x + 480$$
Nhân với 27:
$$27(-x^3 - 25 x^2 - 4 x + 480) = -27 x^3 - 675 x^2 - 108 x + 12960$$
13. **Phương trình trở thành:**
$$x^3 + 45 x^2 + 675 x + 3375 = -27 x^3 - 675 x^2 - 108 x + 12960$$
14. **Chuyển hết về một vế:**
$$x^3 + 27 x^3 + 45 x^2 + 675 x^2 + 675 x + 108 x + 3375 - 12960 = 0$$
$$28 x^3 + 720 x^2 + 783 x - 9585 = 0$$
15. **Giải phương trình bậc ba:**
Ta thử nghiệm nghiệm nguyên bằng cách thử các ước của 9585.
Thử $x=3$:
$$28(27) + 720(9) + 783(3) - 9585 = 756 + 6480 + 2349 - 9585 = 0$$
Vậy $x=3$ là nghiệm.
16. **Kết luận:** Nghiệm của phương trình là $$\boxed{3}$$.