Implications Real 14F7D0

1. Montrons que $(y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 - 8 \neq 0)$.\n\n2. Montrons que $(x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2})$.\n\n3. Montrons que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.\n\n4. Montrons que $(x \neq y) \Rightarrow (x^2 - 4x \neq y^2 - 4y)$ pour $x,y > 2$.\n\n---\n\n**1.a**\n1. Énoncé : Si $y \neq 2$ et $y \neq -2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$.\n2. Formule : $2y^2 - 8 = 0 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.\n3. Donc, si $y \neq 2$ et $y \neq -2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$.\n\n**1.b**\n1. Énoncé : Si $x \neq 0$, alors $\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2}$.\n2. Supposons par l'absurde que $\sqrt{x} + 1 = 1 + \frac{x}{2}$.\n3. Simplifions : $\sqrt{x} = \frac{x}{2}$.\n4. Élevons au carré : $x = \frac{x^2}{4}$.\n5. Multiplions par 4 : $4x = x^2$.\n6. Réarrangeons : $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$.\n7. Donc $x = 0$ ou $x = 4$.\n8. Comme $x \neq 0$, alors $x = 4$.\n9. Vérifions : $\sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$ et $1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3$.\n10. Donc égalité vraie seulement pour $x=4$.\n11. Conclusion : Pour $x \neq 0$ et $x \neq 4$, $\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2}$.\n\n**2.**\n1. Énoncé : Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.\n2. Supposons que $n$ est impair, donc $n = 2k + 1$ pour un $k \in \mathbb{N}$.\n3. Calculons $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.\n4. $n^2$ est impair car de la forme $2m + 1$.\n5. Ceci contredit l'hypothèse que $n^2$ est pair.\n6. Donc $n$ ne peut pas être impair, il est pair.\n\n**3.**\n1. Énoncé : Pour $x,y > 2$, si $x \neq y$, alors $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$.\n2. Supposons par l'absurde que $x^2 - 4x = y^2 - 4y$ avec $x \neq y$.\n3. Réarrangeons : $x^2 - y^2 = 4x - 4y$.\n4. Factorisons : $(x - y)(x + y) = 4(x - y)$.\n5. Comme $x \neq y$, on peut diviser par $(x - y)$ : $$\cancel{(x - y)}(x + y) = 4\cancel{(x - y)} \Rightarrow x + y = 4.$$\n6. Or $x,y > 2$ donc $x + y > 4$.\n7. Contradiction.\n8. Donc $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$ si $x \neq y$.\n\n**Réponses finales :**\n- 1.a est vrai.\n- 1.b est vrai sauf pour $x=4$.\n- 2 est vrai.\n- 3 est vrai.