Question: Defening
Het verband tussen $x,y,z,u,v$ is gegeven door:
{
$xy^3+xzu+yv^2=3$
$yzu^3+2xv-u^2v^2=2$
}
Op dit moment hebben ze allemaal waarde 1.
a) Argumenteer met IFS dat de waarden van $u$ en $v$
in de nabije toekomst als functie van $x,y$ en $z$
kunnen gezien worden.
b) Als $x$ momenteel stijgt terwijl $y$ en $z$ niet veranderen
zal $u$ dan stijgen of dalen?
1. **Probleemstelling:** We hebben het stelsel van vergelijkingen:
$$
\begin{cases}
xy^3 + xzu + yv^2 = 3 \\
yzu^3 + 2xv - u^2v^2 = 2
\end{cases}
$$
met $x=y=z=u=v=1$.
2. **Doel a):** Bewijzen dat $u$ en $v$ als functies van $x,y,z$ kunnen worden uitgedrukt volgens de Impliciete Functiestelling (IFS).
3. **Impliciete Functiestelling (IFS):**
Als we een systeem $F(x,y,z,u,v) = 0$ hebben, en de partiële afgeleide matrix van $F$ naar $(u,v)$ (de variabelen die we willen oplossen) is in het punt $(1,1,1,1,1)$ inverteerbaar (determinant niet nul), dan kunnen we lokaal $u,v$ uitdrukken als functies van $x,y,z$.
4. **Formule:**
We definiëren
$$
F_1 = xy^3 + xzu + yv^2 - 3
$$
$$
F_2 = yzu^3 + 2xv - u^2v^2 - 2
$$
We berekenen de Jacobiaan matrix $J_{(u,v)}$ van $F = (F_1,F_2)$ naar $(u,v)$:
$$
J_{(u,v)} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial v} \\
\frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial v}
\end{pmatrix}
$$
5. **Berekeningen van partiële afgeleiden in $(1,1,1,1,1)$:**
- $\frac{\partial F_1}{\partial u} = xz = 1 \cdot 1 = 1$
- $\frac{\partial F_1}{\partial v} = 2yv = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
- $\frac{\partial F_2}{\partial u} = 3yzu^2 - 2uv^2 = 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1^2 = 3 - 2 = 1$
- $\frac{\partial F_2}{\partial v} = 2x - 2u^2v = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0$
6. **Jacobiaan matrix:**
$$
J_{(u,v)} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
$$
7. **Determinant:**
$$
\det(J_{(u,v)}) = (1)(0) - (2)(1) = -2 \neq 0
$$
8. Omdat de determinant niet nul is, zegt de IFS dat we lokaal $u$ en $v$ kunnen uitdrukken als functies van $x,y,z$.
---
9. **Doel b):** Bepalen of $u$ stijgt of daalt als $x$ stijgt en $y,z$ constant blijven.
10. We differentiëren $F_1$ en $F_2$ naar $x$ met $y,z$ constant en $u,v$ als functies van $x$:
$$
\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial u} \frac{du}{dx} + \frac{\partial F}{\partial v} \frac{dv}{dx} = 0
$$
11. Schrijf dit uit als matrixvergelijking:
$$
\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial v} \\ \frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{du}{dx} \\ \frac{dv}{dx} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} \end{pmatrix}
$$
12. Bereken $\frac{\partial F_i}{\partial x}$ in $(1,1,1,1,1)$:
- $\frac{\partial F_1}{\partial x} = y^3 + zu = 1^3 + 1 \cdot 1 = 2$
- $\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2v = 2 \cdot 1 = 2$
13. De vergelijking wordt:
$$
\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{du}{dx} \\ \frac{dv}{dx} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
14. Los op voor $\frac{du}{dx}$ en $\frac{dv}{dx}$:
Eerste rij:
$$
1 \cdot \frac{du}{dx} + 2 \cdot \frac{dv}{dx} = -2
$$
Tweede rij:
$$
1 \cdot \frac{du}{dx} + 0 \cdot \frac{dv}{dx} = -2
$$
15. Uit tweede rij:
$$
\frac{du}{dx} = -2
$$
16. Invullen in eerste rij:
$$
-2 + 2 \frac{dv}{dx} = -2 \implies 2 \frac{dv}{dx} = 0 \implies \frac{dv}{dx} = 0
$$
17. **Conclusie:** $\frac{du}{dx} = -2 < 0$, dus als $x$ stijgt en $y,z$ constant blijven, daalt $u$.
**Antwoorden:**
a) Volgens de IFS kunnen $u$ en $v$ lokaal als functies van $x,y,z$ worden uitgedrukt omdat de Jacobiaan matrix van $F$ naar $(u,v)$ in het punt $(1,1,1,1,1)$ inverteerbaar is.
b) Als $x$ stijgt en $y,z$ constant blijven, zal $u$ dalen omdat $\frac{du}{dx} = -2 < 0$.