1. **Énoncé du problème :** Résoudre les inéquations suivantes : a) $e^{1 - 4x} \leq 9$ b) $\ln(x) < -0,2$ c) $\ln(4x) > 5$ d) $\ln(x) < 1$ 2. **Rappel des propriétés importantes :** - La fonction exponentielle $e^y$ est strictement croissante. - La fonction logarithme népérien $\ln(y)$ est définie pour $y > 0$ et est strictement croissante. - Pour résoudre $e^A \leq B$ avec $B > 0$, on peut appliquer le logarithme naturel : $A \leq \ln(B)$. - Pour résoudre $\ln(A) < C$, on utilise l'exponentielle : $A < e^C$. --- ### a) Résolution de $e^{1 - 4x} \leq 9$ 3. Appliquer le logarithme naturel des deux côtés (car $e^y$ est croissante) : $$1 - 4x \leq \ln(9)$$ 4. Calculer $\ln(9)$ : $$\ln(9) = \ln(3^2) = 2\ln(3) \approx 2 \times 1,0986 = 2,1972$$ 5. Isoler $x$ : $$1 - 4x \leq 2,1972 \Rightarrow -4x \leq 2,1972 - 1 = 1,1972$$ 6. Diviser par $-4$ (changer le sens de l'inégalité car division par un nombre négatif) : $$x \geq \frac{1,1972}{-4} = -0,2993$$ **Solution a) :** $x \geq -0,2993$ --- ### b) Résolution de $\ln(x) < -0,2$ 7. Exponentier des deux côtés (fonction strictement croissante) : $$x < e^{-0,2}$$ 8. Calculer $e^{-0,2}$ : $$e^{-0,2} \approx 0,8187$$ 9. Domaine de définition : $x > 0$ **Solution b) :** $0 < x < 0,8187$ --- ### c) Résolution de $\ln(4x) > 5$ 10. Exponentier des deux côtés : $$4x > e^5$$ 11. Calculer $e^5$ : $$e^5 \approx 148,413$$ 12. Isoler $x$ : $$x > \frac{148,413}{4} = 37,103$$ 13. Domaine de définition : $4x > 0 \Rightarrow x > 0$ **Solution c) :** $x > 37,103$ --- ### d) Résolution de $\ln(x) < 1$ 14. Exponentier des deux côtés : $$x < e^1 = e \approx 2,7183$$ 15. Domaine de définition : $x > 0$ **Solution d) :** $0 < x < 2,7183$ --- **Résumé final :** - a) $x \geq -0,2993$ - b) $0 < x < 0,8187$ - c) $x > 37,103$ - d) $0 < x < 2,7183$