Khaosat Cac Ham Bac Ba 4A7113

1. **Bài toán:** Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba đã cho. 2. **Công thức chung:** Hàm số bậc ba có dạng $$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ với $a \neq 0$. 3. **Các bước khảo sát:** - Tính đạo hàm: $$y' = 3ax^2 + 2bx + c$$ để tìm điểm cực trị. - Giải phương trình $$y' = 0$$ để tìm các điểm cực trị. - Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị. - Xác định tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng. - Vẽ đồ thị dựa trên các điểm đặc biệt và tính chất hàm số. --- **Câu 1:** a) $y = x^3 - 3x^2 + 1$ - Đạo hàm: $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$$ - Giải $y' = 0$: $x=0$ hoặc $x=2$ - Tính $y(0) = 1$, $y(2) = 8 - 12 + 1 = -3$ - Hàm số tăng trên $(-\infty,0)$ và $(2, +\infty)$, giảm trên $(0,2)$. b) $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ - Đạo hàm: $$y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$$ - Giải $y' = 0$: $x=0$ hoặc $x=-1$ - Tính $y(0) = 1$, $y(-1) = -2 + 3 + 1 = 2$ - Hàm số tăng trên $(-\infty,-1)$ và $(0, +\infty)$, giảm trên $(-1,0)$. c) $y = x^3 - 3x + 2$ - Đạo hàm: $$y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$ - Giải $y' = 0$: $x=1$ hoặc $x=-1$ - Tính $y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, $y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$ - Hàm số tăng trên $(-\infty,-1)$ và $(1, +\infty)$, giảm trên $(-1,1)$. d) $y = -x^3 + 3x - 1$ - Đạo hàm: $$y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = -3(x-1)(x+1)$$ - Giải $y' = 0$: $x=1$ hoặc $x=-1$ - Tính $y(1) = -1 + 3 - 1 = 1$, $y(-1) = 1 - 3 - 1 = -3$ - Hàm số giảm trên $(-\infty,-1)$ và $(1, +\infty)$, tăng trên $(-1,1)$. e) $y = -x^3 - 3x^2 + 4$ - Đạo hàm: $$y' = -3x^2 - 6x = -3x(x+2)$$ - Giải $y' = 0$: $x=0$ hoặc $x=-2$ - Tính $y(0) = 4$, $y(-2) = -(-8) - 12 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ - Hàm số giảm trên $(-\infty,-2)$ và $(0, +\infty)$, tăng trên $(-2,0)$. --- **Câu 2:** a) $y = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ - Đạo hàm: $$y' = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$$ - Giải $y' = 0$: $x=1$ (cực trị bậc hai) - Tính $y(1) = 1 - 3 + 3 + 1 = 2$ - Hàm số đồng biến trên toàn bộ $ b) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1$ - Đạo hàm: $$y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x-1)^2$$ - Giải $y' = 0$: $x=1$ - Tính $y(1) = -1 + 3 - 3 + 1 = 0$ - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến tùy dấu, ở đây $y' \leq 0$ nên hàm số nghịch biến hoặc không đổi. c) $y = x^3 + x^2 + x - 1$ - Đạo hàm: $$y' = 3x^2 + 2x + 1$$ - Phương trình $y' = 0$ có nghiệm không thực vì $$\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$$ - Hàm số đồng biến trên toàn bộ. --- **Kết luận:** Mỗi hàm số được khảo sát đạo hàm để tìm điểm cực trị, sau đó xác định tính đơn điệu và vẽ đồ thị dựa trên các điểm đặc biệt và tính chất hàm số. **Đồ thị:** Do đây là bài toán khảo sát hàm bậc ba, đồ thị có dạng đường cong với các điểm cực trị đã tìm.