Question: Tentukan:
a. Fungsi jarak dari rumah ke perpustakaan (komposisi $g \circ f$)
b. Fungsi jarak dari perpustakaan ke sekolah jika rute balik mengikuti jalur yang sama (komposisi $f \circ g$)
c. Hitung jarak dari rumah ke perpustakaan jika nilai $x = 5$.
AKTIVITAS 5 - ESCAPE CHALLENGE!
Setiap soal benar = 10 poin.
Kumpulkan 50 poin untuk membuka "Kunci Komposisi"!
1 Jika $f(x) = x + 2$
dan $g(x) = 3x - 1$,
tentukan $(f \circ g)(x)$.
2 Jika $f(x) = x^2$
dan $g(x) = 2x + 1$,
tentukan $(g \circ f)(x)$.
3 Diketahui $(f \circ g)(x) = 4x + 7$
dan $g(x) = 2x + 1$.
Tentukan $f(x)$.
4 Diketahui $(g \circ f)(x) = x^2 + 2x + 3$
dan $f(x) = x + 1$.
Tentukan $g(x)$.
5 Buatlah dua fungsi $f$ dan $g$ berbeda sehingga
$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$, lalu tunjukkan
contoh perhitungannya!
1. **Menentukan fungsi komposisi $g \circ f$ dan $f \circ g$**
Diketahui:
$$f(x) = x + 2$$
$$g(x) = 3x - 1$$
a. Fungsi jarak dari rumah ke perpustakaan adalah komposisi $g \circ f$, yaitu:
$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$
Substitusi $f(x)$ ke $g$:
$$ g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) - 1 $$
$$ = 3x + 6 - 1 = 3x + 5 $$
Jadi, fungsi jarak dari rumah ke perpustakaan adalah:
$$ (g \circ f)(x) = 3x + 5 $$
b. Fungsi jarak dari perpustakaan ke sekolah jika rute balik mengikuti jalur yang sama adalah komposisi $f \circ g$, yaitu:
$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$
Substitusi $g(x)$ ke $f$:
$$ f(g(x)) = f(3x - 1) = (3x - 1) + 2 $$
$$ = 3x + 1 $$
Jadi, fungsi jarak dari perpustakaan ke sekolah adalah:
$$ (f \circ g)(x) = 3x + 1 $$
2. **Menghitung jarak dari rumah ke perpustakaan jika $x = 5$**
Gunakan fungsi komposisi $g \circ f$:
$$ (g \circ f)(5) = 3(5) + 5 = 15 + 5 = 20 $$
Jadi, jarak dari rumah ke perpustakaan saat $x = 5$ adalah $20$.
---
3. **Soal tambahan aktivitas:**
1) Tentukan $(f \circ g)(x)$ jika $f(x) = x + 2$ dan $g(x) = 3x - 1$:
$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 1) = (3x - 1) + 2 = 3x + 1 $$
2) Tentukan $(g \circ f)(x)$ jika $f(x) = x^2$ dan $g(x) = 2x + 1$:
$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 2x^2 + 1 $$
3) Diketahui $(f \circ g)(x) = 4x + 7$ dan $g(x) = 2x + 1$, tentukan $f(x)$:
$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = 4x + 7 $$
Misal $f(t) = at + b$, substitusi:
$$ a(2x + 1) + b = 4x + 7 $$
$$ 2ax + a + b = 4x + 7 $$
Cocokkan koefisien:
$$ 2a = 4 \Rightarrow a = 2 $$
$$ a + b = 7 \Rightarrow 2 + b = 7 \Rightarrow b = 5 $$
Jadi:
$$ f(x) = 2x + 5 $$
4) Diketahui $(g \circ f)(x) = x^2 + 2x + 3$ dan $f(x) = x + 1$, tentukan $g(x)$:
$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = x^2 + 2x + 3 $$
Misal $g(t) = at^2 + bt + c$, substitusi:
$$ a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = x^2 + 2x + 3 $$
Kembangkan:
$$ a(x^2 + 2x + 1) + b x + b + c = x^2 + 2x + 3 $$
$$ a x^2 + 2a x + a + b x + b + c = x^2 + 2x + 3 $$
Kelompokkan:
$$ a x^2 + (2a + b) x + (a + b + c) = x^2 + 2x + 3 $$
Cocokkan koefisien:
$$ a = 1 $$
$$ 2a + b = 2 \Rightarrow 2(1) + b = 2 \Rightarrow b = 0 $$
$$ a + b + c = 3 \Rightarrow 1 + 0 + c = 3 \Rightarrow c = 2 $$
Jadi:
$$ g(x) = x^2 + 2 $$
5) Contoh fungsi $f$ dan $g$ sehingga $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$:
Misal:
$$ f(x) = x + 1 $$
$$ g(x) = 2x $$
Hitung:
$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1 $$
$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2 $$
Karena:
$$ 2x + 1 \neq 2x + 2 $$
Maka:
$$ (f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) $$