Kvadratna Funkcija Koeficijenti D8B340

1. **Postavka problema:** Treba odrediti koeficijente $a$, $b$ i $c$ kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ tako da funkcija prolazi kroz tačke $A(1, 2)$, $B(2, 10)$ i $C(-1, -8)$. 2. **Formula i pravila:** Za svaku tačku $(x, y)$ na grafikonu funkcije važi $y = ax^2 + bx + c$. Koristeći tri tačke dobijamo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate. 3. **Formiranje sistema jednačina:** - Za tačku $A(1, 2)$: $$2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$$ - Za tačku $B(2, 10)$: $$10 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c$$ - Za tačku $C(-1, -8)$: $$-8 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a - b + c$$ 4. **Sistem jednačina:** $$\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 10 \\ a - b + c = -8 \end{cases}$$ 5. **Rešavanje sistema:** - Oduzmemo prvu jednačinu od druge: $$ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 10 - 2 $$ $$ 3a + b = 8 $$ - Oduzmemo treću jednačinu od prve: $$ (a + b + c) - (a - b + c) = 2 - (-8) $$ $$ 2b = 10 \Rightarrow b = 5 $$ 6. **Zamenjujemo $b=5$ u $3a + b = 8$:** $$ 3a + 5 = 8 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1 $$ 7. **Zamenjujemo $a=1$ i $b=5$ u prvu jednačinu:** $$ 1 + 5 + c = 2 \Rightarrow 6 + c = 2 \Rightarrow c = 2 - 6 = -4 $$ 8. **Rešenje:** $$ a = 1, \quad b = 5, \quad c = -4 $$ Funkcija je $$f(x) = x^2 + 5x - 4$$.