Question: Tukarkan setiap yang berikut kepada persamaan dalam bentuk linear, Y = mX + c. Seterusnya nyatakan kecerunan serta pintasan-y setiap persamaan linear itu. / Convert the following equation to linear form, Y = mX + c. Hence, state the gradient and the y-intercept of the linear equation.
3 y = p\sqrt{x} + \frac{q}{\sqrt{x}}
4 y^3 = ax^k
5 x^a y^k = 100
6 y = a^2 k^x
Jawapan:
Answer:
1. **Nyatakan masalah:** Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk linear $$Y = mX + c$$ dan nyatakan kecerunan (gradient) serta pintasan-y (y-intercept).
---
3. $$y = p\sqrt{x} + \frac{q}{\sqrt{x}}$$
- Gunakan penggantian untuk linearize.
- Let $$Y = y$$
- Let $$X = \sqrt{x}$$
Maka,
$$y = pX + \frac{q}{X}$$
Untuk bentuk linear, kita perlu menulis sebagai $$Y = mX + c$$.
Namun, $$\frac{q}{X} = qX^{-1}$$, jadi persamaan ini bukan linear dalam $$X$$ secara langsung.
Tapi jika kita anggap $$Y = y$$ dan $$X = \sqrt{x}$$, persamaan ini adalah jumlah dua fungsi linear dalam $$X$$ dan $$X^{-1}$$.
Jadi, untuk linearisasi penuh, kita boleh buat dua pembolehubah:
$$Y = y$$
$$X_1 = \sqrt{x}$$
$$X_2 = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Persamaan menjadi:
$$Y = pX_1 + qX_2$$
Ini adalah linear dalam $$X_1$$ dan $$X_2$$.
**Kecerunan:** Tiada kecerunan tunggal kerana dua pembolehubah.
**Pintasan-y:** Tiada pintasan-y kerana tiada pemalar.
---
4. $$y^3 = ax^k$$
Ambil log10 pada kedua-dua belah:
$$\log_{10} y^3 = \log_{10} a x^k$$
Gunakan sifat log:
$$3 \log_{10} y = \log_{10} a + k \log_{10} x$$
Bahagikan kedua-dua belah dengan 3:
$$\log_{10} y = \frac{k}{3} \log_{10} x + \frac{1}{3} \log_{10} a$$
Tulis semula sebagai:
$$Y = mX + c$$
Dengan:
$$Y = \log_{10} y$$
$$X = \log_{10} x$$
$$m = \frac{k}{3}$$
$$c = \frac{1}{3} \log_{10} a$$
---
5. $$x^a y^k = 100$$
Ambil log10 pada kedua-dua belah:
$$\log_{10} x^a + \log_{10} y^k = \log_{10} 100$$
Gunakan sifat log:
$$a \log_{10} x + k \log_{10} y = 2$$
Tulis semula:
$$k \log_{10} y = 2 - a \log_{10} x$$
Bahagikan kedua-dua belah dengan $$k$$:
$$\log_{10} y = -\frac{a}{k} \log_{10} x + \frac{2}{k}$$
Tulis sebagai linear:
$$Y = mX + c$$
Dengan:
$$Y = \log_{10} y$$
$$X = \log_{10} x$$
$$m = -\frac{a}{k}$$
$$c = \frac{2}{k}$$
---
6. $$y = a^2 k^x$$
Ambil log10 pada kedua-dua belah:
$$\log_{10} y = \log_{10} a^2 + \log_{10} k^x$$
Gunakan sifat log:
$$\log_{10} y = 2 \log_{10} a + x \log_{10} k$$
Tulis semula:
$$Y = mX + c$$
Dengan:
$$Y = \log_{10} y$$
$$X = x$$
$$m = \log_{10} k$$
$$c = 2 \log_{10} a$$