Question: Bahagian B
Section B
[30 markah]
[30 marks]
Jawab mana-mana tiga soalan.
Answer any three questions.
8 Jadual 1 menunjukkan nilai bagi dua pemboleh ubah, $x$ dan $y$, yang diperoleh daripada suatu eksperimen.
Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh persamaan $y = \frac{s}{\sqrt{x}}$ dengan keadaan $s$ dan $t$ ialah pemalar.
Table 1 shows the values of two variables, $x$ and $y$, obtained from an experiment. The variables $x$ and $y$ are related by the equation $y = \frac{s}{\sqrt{x}}$, such that $r$ and $s$ are constants.
Jadual/Table 1
$x$ 1.6 2.6 4 8 16 21
$y$ 1.4 2 2.7 3.9 6.3 7.9
(a) Plot $\log_{10} y$ melawan $\log_{10} x$, menggunakan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-$\log_{10} x$ dan 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-$\log_{10} y$.
Plot $\log_{10} y$ against $\log_{10} x$. Subsequently, join the points by a best fit straight line. Use a scale of 2 cm to 0.2 unit on the $\log_{10} x$-axis and 2 cm to 0.1 unit on the $\log_{10} y$-axis.
(b) Menggunakan graf di 8(a), cari nilai $s$
(i) $r$,
(ii) $s$.
[5 markah/marks]
Kertas graf
Graph paper
1. **Nyatakan masalah:** Diberi persamaan $y = \frac{s}{\sqrt{x}}$ dan data $x$ dan $y$ dari jadual, kita perlu plot $\log_{10} y$ melawan $\log_{10} x$ dan cari nilai pemalar $r$ dan $s$ menggunakan graf.
2. **Tulis persamaan dalam bentuk logaritma:**
$$y = \frac{s}{\sqrt{x}} = s x^{-\frac{1}{2}}$$
Ambil logaritma asas 10 kedua-dua belah:
$$\log_{10} y = \log_{10} s + \log_{10} x^{-\frac{1}{2}} = \log_{10} s - \frac{1}{2} \log_{10} x$$
Jadi, persamaan linear adalah:
$$\log_{10} y = -\frac{1}{2} \log_{10} x + \log_{10} s$$
Ini bermakna graf $\log_{10} y$ melawan $\log_{10} x$ adalah garis lurus dengan kecerunan $r = -\frac{1}{2}$ dan pintasan $\log_{10} s$.
3. **Hitung nilai $\log_{10} x$ dan $\log_{10} y$ dari data:**
| $x$ | 1.6 | 2.6 | 4 | 8 | 16 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 1.4 | 2 | 2.7 | 3.9 | 6.3 | 7.9 |
Hitung:
$\log_{10} x$:
$\log_{10} 1.6 \approx 0.2041$
$\log_{10} 2.6 \approx 0.41497$
$\log_{10} 4 = 0.60206$
$\log_{10} 8 = 0.90309$
$\log_{10} 16 = 1.20412$
$\log_{10} 21 \approx 1.32222$
$\log_{10} y$:
$\log_{10} 1.4 \approx 0.14613$
$\log_{10} 2 = 0.30103$
$\log_{10} 2.7 \approx 0.43136$
$\log_{10} 3.9 \approx 0.59106$
$\log_{10} 6.3 \approx 0.79934$
$\log_{10} 7.9 \approx 0.89763$
4. **Plotkan titik $(\log_{10} x, \log_{10} y)$ pada kertas graf dengan skala yang diberikan:**
- Paksi $\log_{10} x$: 2 cm = 0.2 unit
- Paksi $\log_{10} y$: 2 cm = 0.1 unit
5. **Cari garis lurus terbaik (best fit line) melalui titik-titik tersebut.**
6. **Cari kecerunan $r$ garis lurus:**
Pilih dua titik pada garis lurus terbaik, contohnya:
$$ (x_1, y_1) = (0.2041, 0.14613), \quad (x_2, y_2) = (1.20412, 0.79934) $$
$$ r = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0.79934 - 0.14613}{1.20412 - 0.2041} = \frac{0.65321}{1.00002} \approx 0.6532 $$
Namun, dari persamaan, kecerunan sepatutnya negatif, jadi kita periksa titik lain atau gunakan regresi linear untuk ketepatan.
Jika kita gunakan titik lain, contohnya:
$$ (0.60206, 0.43136), (1.32222, 0.89763) $$
$$ r = \frac{0.89763 - 0.43136}{1.32222 - 0.60206} = \frac{0.46627}{0.72016} \approx 0.647 $$
Ini menunjukkan kecerunan positif, bertentangan dengan persamaan. Ini bermakna data tidak sesuai dengan model $y = \frac{s}{\sqrt{x}}$ secara langsung, atau mungkin ada kesilapan dalam tafsiran.
7. **Namun, berdasarkan persamaan asal, kecerunan $r = -\frac{1}{2} = -0.5$.**
8. **Cari pintasan $c = \log_{10} s$ menggunakan satu titik dan kecerunan:**
Gunakan titik $(0.2041, 0.14613)$ dan $r = -0.5$:
$$ y = r x + c \Rightarrow c = y - r x = 0.14613 - (-0.5)(0.2041) = 0.14613 + 0.10205 = 0.24818 $$
9. **Cari nilai $s$ dari $c$:**
$$ s = 10^{c} = 10^{0.24818} \approx 1.77 $$
10. **Jawapan:**
- (b)(i) Nilai $r = -0.5$
- (b)(ii) Nilai $s \approx 1.77$