1. **Stel het probleem vast:** We moeten het stelsel oplossen: $$\begin{cases} 5x + 2y = 4 - z \\ -3x - 6 = 4y - 5z \\ 8z = x + y + 1 \end{cases}$$ 2. **Herschrijf het stelsel in standaardvorm:** Breng alle termen naar links zodat alles gelijk is aan 0: $$\begin{cases} 5x + 2y + z = 4 \\ -3x - 4y + 5z = 6 \\ -x - y + 8z = 1 \end{cases}$$ 3. **Schrijf het stelsel als matrixvergelijking $AX = B$:** $$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 1 \\ -3 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 8 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 4. **Los op met de inverse matrix methode:** $$X = A^{-1}B$$ 5. **Bereken de determinant van $A$:** $$\det(A) = 5((-4)(8) - 5(-1)) - 2((-3)(8) - 5(-1)) + 1((-3)(-1) - (-4)(-1))$$ $$= 5(-32 + 5) - 2(-24 + 5) + 1(3 - 4) = 5(-27) - 2(-19) + 1(-1) = -135 + 38 - 1 = -98$$ 6. **Bereken de inverse $A^{-1}$ met de adjugaat en determinant:** Bereken de matrix van cofactoren en transposeer deze (adjugaat): $$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} (-4)(8)-5(-1) & -((-3)(8)-5(-1)) & (-3)(-1)-(-4)(-1) \\ -(2(8)-1(-1)) & 5(8)-1(-1) & -(5(-1)-2(-1)) \\ 2(5)-1(-4) & -(5(-3)-1(-3)) & 5(-4)-2(-3) \end{bmatrix}^T$$ $$= \begin{bmatrix} -32+5 & -(-24+5) & 3-4 \\ -(16+1) & 40+1 & -( -5+2) \\ 10+4 & -(-15+3) & -20+6 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -27 & 19 & -1 \\ -17 & 41 & 3 \\ 14 & 12 & -14 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -27 & -17 & 14 \\ 19 & 41 & 12 \\ -1 & 3 & -14 \end{bmatrix}$$ 7. **Inverse matrix:** $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{98} \begin{bmatrix} -27 & -17 & 14 \\ 19 & 41 & 12 \\ -1 & 3 & -14 \end{bmatrix} = \frac{1}{98} \begin{bmatrix} 27 & 17 & -14 \\ -19 & -41 & -12 \\ 1 & -3 & 14 \end{bmatrix}$$ 8. **Bereken $X = A^{-1}B$:** $$X = \frac{1}{98} \begin{bmatrix} 27 & 17 & -14 \\ -19 & -41 & -12 \\ 1 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{98} \begin{bmatrix} 27\cdot4 + 17\cdot6 - 14\cdot1 \\ -19\cdot4 - 41\cdot6 - 12\cdot1 \\ 1\cdot4 - 3\cdot6 + 14\cdot1 \end{bmatrix} = \frac{1}{98} \begin{bmatrix} 108 + 102 - 14 \\ -76 - 246 - 12 \\ 4 - 18 + 14 \end{bmatrix} = \frac{1}{98} \begin{bmatrix} 196 \\ -334 \\ 0 \end{bmatrix}$$ 9. **Eindresultaat:** $$x = \frac{196}{98} = 2, \quad y = \frac{-334}{98} = -\frac{167}{49}, \quad z = 0$$ **Antwoord:** $$\boxed{x=2, \quad y=-\frac{167}{49}, \quad z=0}$$