Question: Een vrachtwagen legt 400 km af met een constante snelheid van $x$ km/h. Aan de chauffeur wordt een uurloon van 10 euro betaald en de brandstof kost 1 euro per liter. Het brandstofverbruik hangt af van de snelheid en is gelijk aan $10 + 0,002x^2$ liter per uur. Voor welke snelheid bereiken de totale kosten een minimum?
1. **Probleemstelling:**
We willen de snelheid $x$ vinden waarbij de totale kosten van het vervoer van 400 km minimaal zijn.
2. **Gegeven:**
- Afstand $d = 400$ km
- Snelheid $x$ km/h
- Uurloon chauffeur = 10 euro per uur
- Brandstofkosten = 1 euro per liter
- Brandstofverbruik per uur = $10 + 0,002x^2$ liter
3. **Formules en regels:**
- Tijd om 400 km af te leggen: $$t = \frac{400}{x}$$
- Totale kosten = kosten chauffeur + kosten brandstof
- Kosten chauffeur = uurloon $\times$ tijd = $$10 \times \frac{400}{x}$$
- Brandstofverbruik totaal = verbruik per uur $\times$ tijd = $$\left(10 + 0,002x^2\right) \times \frac{400}{x}$$
- Kosten brandstof = brandstofverbruik totaal $\times$ prijs per liter = $$1 \times \left(10 + 0,002x^2\right) \times \frac{400}{x}$$
4. **Totale kostenfunctie:**
$$C(x) = 10 \times \frac{400}{x} + \left(10 + 0,002x^2\right) \times \frac{400}{x}$$
5. **Vereenvoudigen:**
$$C(x) = \frac{4000}{x} + \frac{400 \times 10}{x} + \frac{400 \times 0,002x^2}{x} = \frac{4000}{x} + \frac{4000}{x} + 0,8x$$
$$C(x) = \frac{8000}{x} + 0,8x$$
6. **Minimaal punt vinden:**
Neem de afgeleide van $C(x)$ naar $x$ en stel gelijk aan nul:
$$C'(x) = -\frac{8000}{x^2} + 0,8 = 0$$
7. **Oplossen voor $x$:**
$$0,8 = \frac{8000}{x^2}$$
$$0,8x^2 = 8000$$
$$x^2 = \frac{8000}{0,8} = 10000$$
$$x = \sqrt{10000} = 100$$
8. **Controle op minimum:**
Tweede afgeleide:
$$C''(x) = \frac{16000}{x^3} > 0 \text{ voor } x > 0$$
Dus $x=100$ is een minimum.
**Antwoord:** De totale kosten zijn minimaal bij een snelheid van $\boxed{100}$ km/h.