Minimo Mcd 1Df4C9

1. Planteamos el problema: Encontrar el mínimo valor posible de $\mathrm{mcd}(a,b) \cdot \mathrm{mcd}(b,c) \cdot \mathrm{mcd}(c,a)$ para enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen $$10a^2 - 3ab + 7c^2 = 0.$$\n\n2. Observamos que $a,b,c > 0$ y la ecuación es $$10a^2 - 3ab + 7c^2 = 0.$$\n\n3. Reorganizamos para despejar $b$: $$-3ab = -10a^2 - 7c^2 \implies b = \frac{10a^2 + 7c^2}{3a}.$$\n\n4. Para que $b$ sea entero positivo, $3a$ debe dividir a $10a^2 + 7c^2$.\n\n5. Sea $d = \mathrm{mcd}(a,b,c)$. Podemos escribir $a = d a'$, $b = d b'$, $c = d c'$ con $\mathrm{mcd}(a',b',c')=1$.\n\n6. La expresión a minimizar es $$\mathrm{mcd}(a,b) \cdot \mathrm{mcd}(b,c) \cdot \mathrm{mcd}(c,a).$$\n\n7. Como $d$ divide a $a,b,c$, entonces $d$ divide a cada máximo común divisor, por lo que el producto es al menos $d^3$.\n\n8. Para minimizar el producto, intentamos $d=1$, es decir, $a,b,c$ coprimos entre sí.\n\n9. Probamos valores pequeños para $a,c$ para que $b$ sea entero:\n- Para $a=3$, $b = \frac{10 \cdot 9 + 7 c^2}{9} = \frac{90 + 7 c^2}{9}$.\n- Para $b$ entero, $90 + 7 c^2$ debe ser divisible por 9.\n- Probamos $c=3$: $90 + 7 \cdot 9 = 90 + 63 = 153$, que es divisible por 9 (153/9=17).\n\n10. Entonces $a=3$, $c=3$, $b=17$ es solución con $b$ entero positivo.\n\n11. Calculamos los máximos comunes divisores:\n- $\mathrm{mcd}(3,17) = 1$\n- $\mathrm{mcd}(17,3) = 1$\n- $\mathrm{mcd}(3,3) = 3$\n\n12. Producto: $1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$.\n\n13. Intentamos valores menores para $a,c$ no dan enteros para $b$.\n\n14. Por lo tanto, el mínimo valor posible es $$\boxed{3}.$$