Minimum Sum 4560Ce

1. Problemi anlama: $A$, $B$ ve $C$ tam sayıları için iki eşitlik verilmiştir: $$A^B = 81$$ $$B^C = 64$$ Amacımız, bu eşitlikleri sağlayan tam sayılar arasında $A + B + C$ toplamının en küçük değerini bulmaktır. 2. İlk eşitliği inceleyelim: $A^B = 81$ 81 sayısı pozitif ve tam sayı olarak $81 = 3^4$ veya $81 = 9^2$ şeklinde yazılabilir. 3. İkinci eşitliği inceleyelim: $B^C = 64$ 64 sayısı pozitif ve tam sayı olarak $64 = 2^6$ veya $64 = 4^3$ şeklinde yazılabilir. 4. $A$, $B$, $C$ tam sayılar olduğundan ve üsler tam sayı olduğundan, $B$ ve $C$ değerlerini bulmak için $B^C = 64$ ifadesini kullanacağız. 64 sayısının tam sayı üsleri: - $2^6 = 64$ - $4^3 = 64$ - $8^2 = 64$ 5. $B$ değerleri için olası tam sayılar: $2$, $4$, $8$ ve $-2$, $-4$, $-8$ olabilir (negatif üslerde dikkatli olmalıyız). 6. $B^C = 64$ olduğuna göre, $B$ ve $C$ tam sayılar ve $B^C$ pozitif olduğundan, $B$ pozitif veya negatif ve $C$ çift olabilir. 7. $A^B = 81$ olduğuna göre, $A$ ve $B$ tam sayılar ve $81$ pozitif olduğundan, $A$ pozitif veya negatif ve $B$ çift olabilir. 8. Olası $B$ ve $C$ değerlerini deneyelim: - $B=2$, $C=6$ ise $2^6=64$ doğru. - $B=4$, $C=3$ ise $4^3=64$ doğru. - $B=8$, $C=2$ ise $8^2=64$ doğru. 9. Şimdi $A^B=81$ için $B$ değerlerini yukarıdaki gibi deneyelim: - $B=2$ ise $A^2=81 ightarrow A = \\pm 9$ - $B=4$ ise $A^4=81 ightarrow A = \\pm 3$ - $B=8$ ise $A^8=81 ightarrow A = \\pm \\sqrt[8]{81} = \\pm 3^{\\frac{4}{8}} = \\pm 3^{\\frac{1}{2}} = \\pm \\sqrt{3}$ (tam sayı değil) 10. $B=8$ seçeneği tam sayı $A$ sağlamaz, eliyoruz. 11. Şimdi olası çözümleri ve $A+B+C$ toplamlarını hesaplayalım: - $B=2$, $C=6$, $A=9$ ise $A+B+C=9+2+6=17$ - $B=2$, $C=6$, $A=-9$ ise $A+B+C=-9+2+6=-1$ - $B=4$, $C=3$, $A=3$ ise $A+B+C=3+4+3=10$ - $B=4$, $C=3$, $A=-3$ ise $A+B+C=-3+4+3=4$ 12. Negatif üsleri de deneyelim: - $B=-2$, $C=-6$ ise $(-2)^{-6} = rac{1}{(-2)^6} = rac{1}{64}$ değil 64, elenir. - $B=-4$, $C=-3$ ise $(-4)^{-3} = rac{1}{(-4)^3} = rac{1}{-64} = -rac{1}{64}$ değil 64, elenir. 13. $B$ negatif olursa $B^C$ pozitif 64 olamaz, çünkü negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir, çift kuvvetleri pozitiftir ama üs negatif olursa kesir olur. Bu yüzden $B$ negatif olamaz. 14. $A$ negatif olabilir çünkü $(-9)^2=81$ gibi. 15. En küçük $A+B+C$ değeri yukarıdaki hesaplamalarda $-1$ ve $-1$'den küçük bir değer yok gibi görünüyor ama verilen seçeneklerde -9 da var. 16. Negatif üsleri tekrar düşünelim: $B= -2$, $C= -6$ ise $B^C = (-2)^{-6} = rac{1}{(-2)^6} = rac{1}{64}$ değil 64, elenir. $B= -3$, $C= -4$ ise $(-3)^{-4} = rac{1}{81}$ değil 64, elenir. 17. $B$ negatif olursa $B^C$ pozitif 64 olamaz, bu yüzden $B$ pozitif olmalı. 18. $A$ negatif olabilir, $B$ pozitif olmalı, $C$ pozitif olmalı. 19. Yukarıdaki seçeneklerde en küçük toplam $-1$ olarak görünüyor. 20. Ancak soruda verilen cevaplar arasında -9 da var. Bu durumda $B= -4$, $C= 3$ deneyelim: $B^C = (-4)^3 = -64$ değil 64, elenir. $B= -3$, $C= 4$ ise $(-3)^4 = 81$ değil 64, elenir. 21. $B= -3$, $C= 4$ olursa $B^C = (-3)^4 = 81$ değil 64, elenir. 22. $B= -2$, $C= 6$ ise $(-2)^6 = 64$ doğru. 23. $A^B = 81$ ve $B= -2$ ise $A^{-2} = 81 ightarrow rac{1}{A^2} = 81 ightarrow A^2 = rac{1}{81} ightarrow A = \\pm rac{1}{9}$ tam sayı değil, elenir. 24. $B= -4$, $C= 3$ ise $(-4)^3 = -64$ değil 64, elenir. 25. $B= -1$, $C= 6$ ise $(-1)^6 = 1$ değil 64, elenir. 26. $B= 3$, $C= 4$ ise $3^4 = 81$ değil 64, elenir. 27. $B= 4$, $C= 3$ ise $4^3 = 64$ doğru. $A^4 = 81 ightarrow A = \\pm 3$ 28. $A=3$, $B=4$, $C=3$ toplamı $3+4+3=10$ $A=-3$, $B=4$, $C=3$ toplamı $-3+4+3=4$ 29. $B= 2$, $C= 6$ ise $2^6=64$ doğru. $A^2=81 ightarrow A= \\pm 9$ $A=9$, $B=2$, $C=6$ toplamı $9+2+6=17$ $A=-9$, $B=2$, $C=6$ toplamı $-9+2+6=-1$ 30. En küçük toplam $-1$ olarak görünüyor. 31. Ancak verilen cevaplar arasında -9 da var. Bu durumda $B= -2$, $C= 6$ ise $B^C = (-2)^6=64$ doğru. $A^B=81$ ve $B=-2$ ise $A^{-2}=81 ightarrow rac{1}{A^2}=81 ightarrow A^2=rac{1}{81} ightarrow A= \\pm rac{1}{9}$ tam sayı değil, elenir. 32. $B= -3$, $C= 4$ ise $(-3)^4=81$ değil 64, elenir. 33. $B= -4$, $C= 3$ ise $(-4)^3=-64$ değil 64, elenir. 34. $B= -1$, $C= 6$ ise $(-1)^6=1$ değil 64, elenir. 35. $B= 1$, $C= 6$ ise $1^6=1$ değil 64, elenir. 36. $B= 3$, $C= 4$ ise $3^4=81$ değil 64, elenir. 37. $B= 6$, $C= 2$ ise $6^2=36$ değil 64, elenir. 38. $B= 8$, $C= 2$ ise $8^2=64$ doğru. $A^8=81 ightarrow A= \\pm 3^{\\frac{4}{8}}= \\pm 3^{\\frac{1}{2}}= \\pm \\sqrt{3}$ tam sayı değil, elenir. 39. Sonuç olarak, en küçük $A+B+C$ değeri $-1$ olarak bulunur. 40. Verilen cevaplar arasında $-1$ Fuat'a aittir. 41. Doğru cevap: B) Fuat