Monotonicity Sequences 4B95Df

1. សិក្សាភាពម៉ូណូតូននៃស្វុីត $a_n = \frac{n}{n+3}$។ 2. ស្វុីតនេះគឺជាអនុគមន៍នៃ $n$ ដែលជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ 3. ដើម្បីសិក្សាភាពម៉ូណូតូន យើងពិនិត្យ $a_{n+1} - a_n$៖ $$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+4} - \frac{n}{n+3} = \frac{(n+1)(n+3) - n(n+4)}{(n+4)(n+3)}$$ 4. គណនាផ្នែកលើ៖ $$(n+1)(n+3) - n(n+4) = (n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 4n) = 3$$ 5. ដូច្នេះ $$a_{n+1} - a_n = \frac{3}{(n+4)(n+3)} > 0$$ សម្រាប់គ្រប់ $n \geq 1$។ 6. នេះមានន័យថា $a_n$ កើនឡើងជាអនុគមន៍នៃ $n$ ហើយស្វុីត $a_n = \frac{n}{n+3}$ គឺម៉ូណូតូនកើន។ --- 7. សិក្សាភាពម៉ូណូតូននៃស្វុីត $a_n = (-1)^n \frac{n-1}{3n+2}$។ 8. ស្វុីតនេះមានសញ្ញាប្រែប្រួលដោយសារតែ $(-1)^n$ ដែលបង្កើតសញ្ញាប្រែប្រួលចន្លោះវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន។ 9. ដូច្នេះ $a_n$ មិនអាចមានភាពម៉ូណូតូនទាំងស្រុងបានទេ ព្រោះសញ្ញាប្រែប្រួល។ 10. ទោះយ៉ាងណា យើងអាចពិនិត្យម៉ូណូតូនភាពនៃ $\left|a_n\right| = \left|\frac{n-1}{3n+2}\right|$។ 11. គណនាផ្ទាល់ $\frac{n-1}{3n+2}$ សម្រាប់ $n \geq 1$៖ 12. ពិនិត្យ $b_n = \frac{n-1}{3n+2}$ និង $b_{n+1} - b_n$៖ $$b_{n+1} - b_n = \frac{n}{3n+5} - \frac{n-1}{3n+2} = \frac{n(3n+2) - (n-1)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}$$ 13. គណនាផ្នែកលើ៖ $$n(3n+2) - (n-1)(3n+5) = 3n^2 + 2n - (3n^2 + 5n - 3n - 5) = 3n^2 + 2n - (3n^2 + 2n - 5) = 5$$ 14. ដូច្នេះ $$b_{n+1} - b_n = \frac{5}{(3n+5)(3n+2)} > 0$$ សម្រាប់គ្រប់ $n \geq 1$។ 15. នេះបង្ហាញថា $b_n$ កើនឡើង ហើយ $|a_n|$ កើនឡើង។ 16. ប៉ុន្តែ $a_n$ មិនម៉ូណូតូនដោយសារតែសញ្ញាប្រែប្រួល។ **ចម្លើយ**៖ - ស្វុីត $a_n = \frac{n}{n+3}$ ម៉ូណូតូនកើន។ - ស្វុីត $a_n = (-1)^n \frac{n-1}{3n+2}$ មិនម៉ូណូតូនទាំងស្រុង ប៉ុន្តែ $|a_n|$ ម៉ូណូតូនកើន។