Question: Un fabricante vende un producto a $9.45 por unidad y vende todo lo que produce. El costo fijo es de $2350 y el costo variable de $8.20 por unidad. ¿A qué nivel de producción habrá una ganancia de $5000? ¿A qué nivel de producción habrá una pérdida de $1475? ¿En qué nivel de producción ocurrirá el punto de equilibrio?
1. Planteamos el problema:
Queremos encontrar el nivel de producción $x$ para diferentes situaciones: ganancia de $5000$, pérdida de $1475$ y punto de equilibrio.
2. Definimos las variables y fórmulas:
- Precio de venta por unidad: $9.45$
- Costo fijo: $2350$
- Costo variable por unidad: $8.20$
- Ganancia o pérdida: $G$
La ganancia se calcula como:
$$G = \text{Ingresos} - \text{Costos} = 9.45x - (2350 + 8.20x)$$
3. Simplificamos la fórmula de ganancia:
$$G = 9.45x - 2350 - 8.20x = (9.45 - 8.20)x - 2350 = 1.25x - 2350$$
4. Para encontrar el nivel de producción con ganancia de $5000$, igualamos y despejamos $x$:
$$5000 = 1.25x - 2350$$
$$5000 + 2350 = 1.25x$$
$$7350 = 1.25x$$
$$x = \frac{7350}{1.25}$$
$$x = 5880$$
5. Para encontrar el nivel de producción con pérdida de $1475$, igualamos y despejamos $x$:
$$-1475 = 1.25x - 2350$$
$$-1475 + 2350 = 1.25x$$
$$875 = 1.25x$$
$$x = \frac{875}{1.25}$$
$$x = 700$$
6. Para encontrar el punto de equilibrio (ganancia $G=0$), igualamos y despejamos $x$:
$$0 = 1.25x - 2350$$
$$2350 = 1.25x$$
$$x = \frac{2350}{1.25}$$
$$x = 1880$$
**Respuesta final:**
- Ganancia de $5000$ ocurre cuando $x = 5880$ unidades.
- Pérdida de $1475$ ocurre cuando $x = 700$ unidades.
- Punto de equilibrio ocurre cuando $x = 1880$ unidades.