1. **Stel het probleem vast:** We hebben een parametrisch systeem van drie lineaire vergelijkingen in $x$, $y$, en $z$ met parameters $r$ en $s$: $$x=1+7r+2s$$ $$y=3-3r+s$$ $$z=-2+5r+5s$$ We willen dit zo efficiënt mogelijk oplossen, wat betekent dat we $x$, $y$, en $z$ uitdrukken in termen van $r$ en $s$ of andersom, afhankelijk van de context. 2. **Formule en regels:** Dit is een parametrische voorstelling van een vlak in de ruimte. De vectorvorm is: $$\vec{r} = \vec{r_0} + r\vec{v} + s\vec{w}$$ waar $$\vec{r_0} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix}7 \\ -3 \\ 5\end{pmatrix}, \quad \vec{w} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}$$ 3. **Efficiënt oplossen:** - Als je $x$, $y$, $z$ kent en $r$, $s$ wilt vinden, los je het lineaire systeem op: $$\begin{cases} x = 1 + 7r + 2s \\ y = 3 - 3r + s \\ z = -2 + 5r + 5s \end{cases}$$ - Dit is een systeem van drie vergelijkingen met twee onbekenden $r$ en $s$. Meestal is het overbepaald, dus controleer consistentie. 4. **Los het systeem op:** Schrijf het als matrixvergelijking: $$\begin{pmatrix}7 & 2 \\ -3 & 1 \\ 5 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}r \\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x - 1 \\ y - 3 \\ z + 2\end{pmatrix}$$ 5. **Gebruik de eerste twee vergelijkingen om $r$ en $s$ uit te drukken:** $$\begin{cases}7r + 2s = x - 1 \\ -3r + s = y - 3\end{cases}$$ Los de tweede vergelijking op voor $s$: $$s = y - 3 + 3r$$ Vervang in de eerste: $$7r + 2(y - 3 + 3r) = x - 1$$ $$7r + 2y - 6 + 6r = x - 1$$ $$13r + 2y - 6 = x - 1$$ $$13r = x - 1 - 2y + 6$$ $$13r = x + 5 - 2y$$ $$r = \frac{x + 5 - 2y}{13}$$ 6. **Bereken $s$:** $$s = y - 3 + 3 \cdot \frac{x + 5 - 2y}{13} = \frac{13(y - 3) + 3(x + 5 - 2y)}{13}$$ $$= \frac{13y - 39 + 3x + 15 - 6y}{13} = \frac{3x + 7y - 24}{13}$$ 7. **Controleer met derde vergelijking:** $$5r + 5s \stackrel{?}{=} z + 2$$ Vervang $r$ en $s$: $$5 \cdot \frac{x + 5 - 2y}{13} + 5 \cdot \frac{3x + 7y - 24}{13} = z + 2$$ $$\frac{5(x + 5 - 2y) + 5(3x + 7y - 24)}{13} = z + 2$$ $$\frac{5x + 25 - 10y + 15x + 35y - 120}{13} = z + 2$$ $$\frac{20x + 25y - 95}{13} = z + 2$$ $$z + 2 = \frac{20x + 25y - 95}{13}$$ Dit is de consistentievoorwaarde voor $(x,y,z)$ om in het vlak te liggen. **Conclusie:** - Om $r$ en $s$ te vinden uit $x,y,z$, gebruik de formules: $$r = \frac{x + 5 - 2y}{13}, \quad s = \frac{3x + 7y - 24}{13}$$ - Controleer of $z$ voldoet aan: $$z + 2 = \frac{20x + 25y - 95}{13}$$ Als dit klopt, ligt het punt op het vlak beschreven door de parametrisatie. Dit is de meest efficiënte manier om het systeem op te lossen.