Question: Giải phương trình: $$(x + 1)\sqrt{x^2 - 2x + 3} = x^2 + 1$$
1. **Nêu bài toán:** Giải phương trình $$(x + 1)\sqrt{x^2 - 2x + 3} = x^2 + 1$$.
2. **Phân tích biểu thức dưới căn:** Biểu thức dưới căn là $x^2 - 2x + 3$.
3. **Kiểm tra điều kiện xác định:** Vì $x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 > 0$ với mọi $x$, nên biểu thức dưới căn luôn dương, phương trình xác định với mọi $x$.
4. **Đặt $A = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$, ta có:**
$$ (x+1)A = x^2 + 1 $$
5. **Bình phương hai vế để loại căn:**
$$ ((x+1)A)^2 = (x^2 + 1)^2 $$
$$ (x+1)^2 (x^2 - 2x + 3) = (x^2 + 1)^2 $$
6. **Phân tích và khai triển:**
- $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
- $x^2 - 2x + 3$ giữ nguyên
Nhân hai đa thức:
$$ (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 3) = (x^2 + 1)^2 $$
7. **Khai triển vế trái:**
$$ x^2(x^2 - 2x + 3) + 2x(x^2 - 2x + 3) + 1(x^2 - 2x + 3) $$
$$ = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 2x^3 - 4x^2 + 6x + x^2 - 2x + 3 $$
$$ = x^4 + ( -2x^3 + 2x^3 ) + (3x^2 - 4x^2 + x^2) + (6x - 2x) + 3 $$
$$ = x^4 + 0 + 0 + 4x + 3 $$
8. **Khai triển vế phải:**
$$ (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 $$
9. **Phương trình trở thành:**
$$ x^4 + 4x + 3 = x^4 + 2x^2 + 1 $$
10. **Rút gọn:**
$$ 4x + 3 = 2x^2 + 1 $$
$$ 2x^2 - 4x - 2 = 0 $$
11. **Chia cả hai vế cho 2:**
$$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$
12. **Giải phương trình bậc hai:**
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $$
13. **Kiểm tra nghiệm:**
- Với $x = 1 + \sqrt{2}$, thay vào phương trình gốc, vế trái và vế phải đều dương và bằng nhau.
- Với $x = 1 - \sqrt{2}$, cũng tương tự, nghiệm hợp lệ.
14. **Kết luận:**
Nghiệm của phương trình là $$x = 1 + \sqrt{2}$$ hoặc $$x = 1 - \sqrt{2}$$.