1. **Problemstellung:** Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades $f(x)$, die zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Ursprung geht, bei $x=3$ eine Nullstelle hat mit Steigung $-48$, und bei $x=1$ einen Wendepunkt mit Wendetangente der Steigung $-2$ besitzt. 2. **Symmetrie und Ansatz:** Da der Graph zur y-Achse symmetrisch ist, enthält $f(x)$ nur gerade Potenzen von $x$: $$f(x) = a + b x^2 + c x^4$$ 3. **Bedingungen aufstellen:** - Durch den Ursprung: $f(0) = 0 \Rightarrow a = 0$ - Nullstelle bei $x=3$: $f(3) = 0$ - Steigung bei $x=3$ ist $f'(3) = -48$ - Wendepunkt bei $x=1$: $f''(1) = 0$ - Steigung der Wendetangente bei $x=1$ ist $f'(1) = -2$ 4. **Ableitungen berechnen:** $$f(x) = b x^2 + c x^4$$ $$f'(x) = 2 b x + 4 c x^3$$ $$f''(x) = 2 b + 12 c x^2$$ 5. **Gleichungssystem aufstellen:** - Nullstelle bei 3: $$f(3) = 9 b + 81 c = 0$$ - Steigung bei 3: $$f'(3) = 6 b + 108 c = -48$$ - Wendepunkt bei 1: $$f''(1) = 2 b + 12 c = 0$$ - Steigung der Wendetangente bei 1: $$f'(1) = 2 b + 4 c = -2$$ 6. **Lösen des Gleichungssystems:** Aus $f''(1) = 0$ folgt: $$2 b + 12 c = 0 \Rightarrow b = -6 c$$ Einsetzen in $f(3) = 0$: $$9 b + 81 c = 9(-6 c) + 81 c = -54 c + 81 c = 27 c = 0 \Rightarrow c = 0$$ Dann ist auch $b = -6 \cdot 0 = 0$. Dies führt zu $f(x) = 0$, was nicht sinnvoll ist. Wir prüfen die Steigung der Wendetangente: $$f'(1) = 2 b + 4 c = 2(-6 c) + 4 c = -12 c + 4 c = -8 c = -2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$$ Widerspruch zu $c=0$ aus vorheriger Gleichung. 7. **Korrektur:** Wir lösen das System mit den vier Gleichungen: $$\begin{cases} 9 b + 81 c = 0 \\ 6 b + 108 c = -48 \\ 2 b + 12 c = 0 \\ 2 b + 4 c = -2 \end{cases}$$ Aus $2 b + 12 c = 0$ folgt: $$b = -6 c$$ Einsetzen in $9 b + 81 c = 0$: $$9(-6 c) + 81 c = -54 c + 81 c = 27 c = 0 \Rightarrow c = 0$$ Dann $b = 0$. Einsetzen in $6 b + 108 c = -48$: $$6 \cdot 0 + 108 \cdot 0 = 0 \neq -48$$ Widerspruch. 8. **Fazit:** Das System ist überbestimmt. Wir lösen die ersten drei Gleichungen und prüfen die vierte: - $b = -6 c$ - $9 b + 81 c = 0 \Rightarrow 27 c = 0 \Rightarrow c=0, b=0$ - $6 b + 108 c = -48 \Rightarrow 0 = -48$ Widerspruch. Wir lösen die ersten zwei Gleichungen: $$9 b + 81 c = 0 \Rightarrow b = -9 c$$ $$6 b + 108 c = -48$$ Einsetzen: $$6(-9 c) + 108 c = -54 c + 108 c = 54 c = -48 \Rightarrow c = -\frac{48}{54} = -\frac{8}{9}$$ $$b = -9 \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) = 8$$ Prüfen $f''(1) = 2 b + 12 c = 2 \cdot 8 + 12 \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) = 16 - \frac{96}{9} = 16 - 10.666... = 5.333... \neq 0$ Also ist $x=1$ kein Wendepunkt. Wir ignorieren die Wendepunktbedingung und bestimmen $a,b,c$ nur mit den ersten beiden Bedingungen. 9. **Funktion:** $$f(x) = b x^2 + c x^4 = 8 x^2 - \frac{8}{9} x^4$$ 10. **Endergebnis:** Die Funktion lautet: $$\boxed{f(x) = 8 x^2 - \frac{8}{9} x^4}$$ --- **Zusammenfassung:** - Ansatz: $f(x) = a + b x^2 + c x^4$ - $a=0$ wegen $f(0)=0$ - Nullstelle und Steigung bei $x=3$ führen zu $b=8$, $c=-\frac{8}{9}$ - Die Wendepunktbedingung ist nicht erfüllbar mit den anderen Bedingungen.