Question: (i) x³+ax²+bx+c, (x+1) නම් හා x²-x මගින් බෙදිය හැකි සෙෂ්පාන පිළිබඳවින් 2 හා x+2 වේ. a,b හා c සොයන්න.
(ii) f(x)=x²+ax+b නම්, f(x) හි බිදින ලුගම (x-c) වලින් බෙදිය නොහැකි ලෙසින්, f(x) බිදින ලුගම (x-2c) මගින් බෙදිය හැකි ලෙසින් සලකන්න. c හි අර්ථය සොයන්න.
(iii) x³+5x²+λx+μ යන්න (x-1) හා (x-2) නම්, x-1 හා x-2 යන දෙකෙන්ම බෙදිය නොහැකි ලෙසින් 9,29 නම්, λ=-2 හා μ=5 සොයන්න.
(iv) x⁴+λx+μ ප්‍රකාශනය (x-2) නම් බෙදී වීමෙන් 4ක් වන අගය (x+2) නම් බෙදී වීමෙන් 8 වේ. λ+μ=-11 බව සොයන්න.
1. **ප්‍රශ්නය**: (i) $x^3+ax^2+bx+c$ ප්‍රකාශනය $(x+1)$ සහ $x^2 - x$ මගින් බෙදිය හැකි බව දී ඇත. $a,b,c$ සොයන්න.
2. **සූත්‍රය සහ නීති**:
- $(x+1)$ බෙදිය හැකි නම්, $P(-1)=0$.
- $x^2 - x = x(x-1)$ මගින් බෙදිය හැකි නම්, $P(0)=0$ සහ $P(1)=0$.
3. **මැතිකම් සකස් කිරීම**:
- $P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c = 0$
- $P(0) = c = 0$
- $P(1) = 1 + a + b + c = 0$
4. **සමීකරණ පද්ධතිය**:
- $c=0$
- $-1 + a - b + 0 = 0 \Rightarrow a - b = 1$
- $1 + a + b + 0 = 0 \Rightarrow a + b = -1$
5. **සමීකරණ විසඳීම**:
- $a - b = 1$
- $a + b = -1$
6. **එකතු කිරීම**:
$$ (a - b) + (a + b) = 1 + (-1) \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0 $$
7. **$a$ අගය $b$ සොයා ගැනීම**:
$$ 0 - b = 1 \Rightarrow b = -1 $$
8. **අවසන් පිළිතුර**:
$$ a=0, b=-1, c=0 $$
---
1. **ප්‍රශ්නය**: (ii) $f(x) = x^2 + ax + b$ නම්, $f(x)$ හි බිදින ලුගම $(x-c)$ මගින් බෙදිය නොහැකි අතර, $(x-2c)$ මගින් බෙදිය හැකි බව සලකන්න. $c$ හි අර්ථය සොයන්න.
2. **සූත්‍රය සහ නීති**:
- $(x-c)$ මගින් බෙදිය නොහැකි නම්, $f(c) \neq 0$.
- $(x-2c)$ මගින් බෙදිය හැකි නම්, $f(2c) = 0$.
3. **සමීකරණ**:
$$ f(2c) = (2c)^2 + a(2c) + b = 4c^2 + 2ac + b = 0 $$
4. **$f(c)$ අගය**:
$$ f(c) = c^2 + ac + b \neq 0 $$
5. **$b$ සම්බන්ධයෙන්**:
- $b = -4c^2 - 2ac$
6. **$f(c)$ යළි ලිවීම**:
$$ f(c) = c^2 + ac -4c^2 - 2ac = -3c^2 - ac \neq 0 $$
7. **$f(c) \neq 0$ සඳහා**:
$$ -3c^2 - ac \neq 0 \Rightarrow c(-3c - a) \neq 0 $$
8. **අර්ථය**:
- $c \neq 0$ සහ $-3c - a \neq 0$.
---
1. **ප්‍රශ්නය**: (iii) $x^3 + 5x^2 + \lambda x + \mu$ ප්‍රකාශනය $(x-1)$ සහ $(x-2)$ මගින් බෙදිය නොහැකි අතර, $9, 29$ නම්, $\lambda = -2$ සහ $\mu = 5$ සොයන්න.
2. **සූත්‍රය සහ නීති**:
- $(x-1)$ සහ $(x-2)$ මගින් බෙදිය නොහැකි නම්, $P(1) \neq 0$ සහ $P(2) \neq 0$.
- $P(9) = 0$ සහ $P(29) = 0$ යනුවෙන් දී ඇත.
3. **සමීකරණ**:
- $P(9) = 9^3 + 5(9)^2 + \lambda (9) + \mu = 729 + 405 + 9\lambda + \mu = 0$
- $P(29) = 29^3 + 5(29)^2 + 29\lambda + \mu = 0$
4. **සමීකරණ ලිවීම**:
- $1134 + 9\lambda + \mu = 0$
- $24389 + 4205 + 29\lambda + \mu = 0 \Rightarrow 28594 + 29\lambda + \mu = 0$
5. **සමීකරණ පද්ධතිය**:
$$ \begin{cases} 9\lambda + \mu = -1134 \\ 29\lambda + \mu = -28594 \end{cases} $$
6. **අඩු කිරීම**:
$$ (29\lambda + \mu) - (9\lambda + \mu) = -28594 + 1134 \Rightarrow 20\lambda = -27460 \Rightarrow \lambda = -1373 $$
7. **$\mu$ සොයා ගැනීම**:
$$ 9(-1373) + \mu = -1134 \Rightarrow -12357 + \mu = -1134 \Rightarrow \mu = 11223 $$
8. **පරීක්ෂාව**:
- දී ඇති $\lambda = -2$ සහ $\mu = 5$ සමඟ ගැලපෙන්නේ නැත. කරුණාකර ප්‍රශ්නය නැවත පරීක්ෂා කරන්න.
---
1. **ප්‍රශ්නය**: (iv) $x^4 + \lambda x + \mu$ ප්‍රකාශනය $(x-2)$ මගින් බෙදී වීමෙන් 4ක් වන අගය, $(x+2)$ මගින් බෙදී වීමෙන් 8 වේ. $\lambda + \mu = -11$ බව සොයන්න.
2. **සූත්‍රය සහ නීති**:
- $P(2) = 4$
- $P(-2) = 8$
3. **සමීකරණ**:
- $P(2) = 2^4 + 2\lambda + \mu = 16 + 2\lambda + \mu = 4$
- $P(-2) = (-2)^4 - 2\lambda + \mu = 16 - 2\lambda + \mu = 8$
4. **සමීකරණ පද්ධතිය**:
$$ \begin{cases} 16 + 2\lambda + \mu = 4 \\ 16 - 2\lambda + \mu = 8 \end{cases} $$
5. **සමීකරණ සරල කිරීම**:
- $2\lambda + \mu = 4 - 16 = -12$
- $-2\lambda + \mu = 8 - 16 = -8$
6. **එකතු කිරීම**:
$$ (2\lambda + \mu) + (-2\lambda + \mu) = -12 + (-8) \Rightarrow 2\mu = -20 \Rightarrow \mu = -10 $$
7. **$\lambda$ සොයා ගැනීම**:
$$ 2\lambda - 10 = -12 \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1 $$
8. **තහවුරු කිරීම**:
$$ \lambda + \mu = -1 + (-10) = -11 $$
---
**අවසන් පිළිතුරු:**
(i) $a=0, b=-1, c=0$
(ii) $c \neq 0$ සහ $-3c - a \neq 0$
(iii) $\lambda = -1373, \mu = 11223$ (දත්ත අසමත්)
(iv) $\lambda = -1, \mu = -10$, $\lambda + \mu = -11$