Potenciacion Inecuaciones 5B81D3

1. Potenciación 1. Planteamos el problema: calcular $$\dfrac{(2^{-2}\cdot 4^{3})^{2}\cdot 8^{-1}}{(2^{3}\cdot 4^{-1})^{-2}}$$ 2. Recordemos que podemos expresar todas las bases en potencias de 2: $$4 = 2^{2}, \quad 8 = 2^{3}$$ 3. Reescribimos cada término: $$2^{-2} \cdot 4^{3} = 2^{-2} \cdot (2^{2})^{3} = 2^{-2} \cdot 2^{6} = 2^{-2+6} = 2^{4}$$ 4. Elevamos al cuadrado: $$\left(2^{4}\right)^{2} = 2^{4 \cdot 2} = 2^{8}$$ 5. Multiplicamos por \(8^{-1} = (2^{3})^{-1} = 2^{-3}\): $$2^{8} \cdot 2^{-3} = 2^{8-3} = 2^{5}$$ 6. Ahora el denominador: $$2^{3} \cdot 4^{-1} = 2^{3} \cdot (2^{2})^{-1} = 2^{3} \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2^{1}$$ 7. Elevamos al exponente \(-2\): $$\left(2^{1}\right)^{-2} = 2^{1 \cdot (-2)} = 2^{-2}$$ 8. Finalmente, dividimos: $$\dfrac{2^{5}}{2^{-2}} = 2^{5 - (-2)} = 2^{5+2} = 2^{7}$$ 9. Resultado: $$2^{7} = 128$$ 2. Inecuación cuadrática 1. Planteamos la inecuación: $$6x^{2} + x - 2 \leq 0$$ 2. Encontramos las raíces de la ecuación asociada: $$6x^{2} + x - 2 = 0$$ 3. Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ con \(a=6\), \(b=1\), \(c=-2\). 4. Calculamos el discriminante: $$\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$$ 5. Calculamos las raíces: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-1 \pm 7}{12}$$ Entonces: $$x_{1} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$$ $$x_{2} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ 6. Como \(a=6 > 0\), la parábola abre hacia arriba, por lo que la inecuación \(\leq 0\) se cumple entre las raíces: $$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}$$ 3. Inecuación racional 1. Planteamos la inecuación: $$\dfrac{(x-4)(x-2)(x+1)}{(x-3)(x+2)(x-1)} \leq 0$$ 2. Identificamos los puntos críticos donde el numerador o denominador se anulan: Numerador: \(x=4, 2, -1\) Denominador: \(x=3, -2, 1\) 3. Estos puntos dividen la recta real en intervalos: $$(-\infty, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, \infty)$$ 4. Probamos el signo de la expresión en cada intervalo (considerando que en los puntos donde el denominador es cero la función no está definida): - En \((-\infty, -2)\), por ejemplo \(x=-3\): Numerador: \((-3-4)(-3-2)(-3+1) = (-7)(-5)(-2) = (-)(-)(-) = -\) negativo Denominador: \((-3-3)(-3+2)(-3-1) = (-6)(-1)(-4) = (-)(-)(-) = -\) negativo Fracción: negativo / negativo = positivo > 0 - En \((-2, -1)\), por ejemplo \(x=-1.5\): Numerador: \((-1.5-4)(-1.5-2)(-1.5+1) = (-5.5)(-3.5)(-0.5) = (-)(-)(-) = -\) negativo Denominador: \((-1.5-3)(-1.5+2)(-1.5-1) = (-4.5)(0.5)(-2.5) = (-)(+)(-) = +\) positivo Fracción: negativo / positivo = negativo \leq 0 (cumple) - En \((-1, 1)\), por ejemplo \(x=0\): Numerador: \((0-4)(0-2)(0+1) = (-4)(-2)(1) = (+)(+)(+) = +\) positivo Denominador: \((0-3)(0+2)(0-1) = (-3)(2)(-1) = (-)(+)(-) = +\) positivo Fracción: positivo / positivo = positivo > 0 - En \((1, 2)\), por ejemplo \(x=1.5\): Numerador: \((1.5-4)(1.5-2)(1.5+1) = (-2.5)(-0.5)(2.5) = (+)(+)(+) = +\) positivo Denominador: \((1.5-3)(1.5+2)(1.5-1) = (-1.5)(3.5)(0.5) = (-)(+)(+) = -\) negativo Fracción: positivo / negativo = negativo \leq 0 (cumple) - En \((2, 3)\), por ejemplo \(x=2.5\): Numerador: \((2.5-4)(2.5-2)(2.5+1) = (-1.5)(0.5)(3.5) = (-)(+)(+) = -\) negativo Denominador: \((2.5-3)(2.5+2)(2.5-1) = (-0.5)(4.5)(1.5) = (-)(+)(+) = -\) negativo Fracción: negativo / negativo = positivo > 0 - En \((3, 4)\), por ejemplo \(x=3.5\): Numerador: \((3.5-4)(3.5-2)(3.5+1) = (-0.5)(1.5)(4.5) = (-)(+)(+) = -\) negativo Denominador: \((3.5-3)(3.5+2)(3.5-1) = (0.5)(5.5)(2.5) = (+)(+)(+) = +\) positivo Fracción: negativo / positivo = negativo \leq 0 (cumple) - En \((4, \infty)\), por ejemplo \(x=5\): Numerador: \((5-4)(5-2)(5+1) = (1)(3)(6) = +\) positivo Denominador: \((5-3)(5+2)(5-1) = (2)(7)(4) = +\) positivo Fracción: positivo / positivo = positivo > 0 5. La función no está definida en \(x = -2, 1, 3\), por lo que no se incluyen en la solución. 6. La solución es la unión de los intervalos donde la expresión es \(\leq 0\): $$(-2, -1] \cup [1, 2] \cup (3, 4]$$ --- **Respuestas finales:** 1. $$128$$ 2. $$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}$$ 3. $$(-2, -1] \cup [1, 2] \cup (3, 4]$$