Potenciacion Simplificacion F53Dcc

1. Simplifica $\frac{(a^{-3}b^{2})^{2} \cdot (a^{2}b^{-4})^{-3}}{a^{0} \cdot b^{5}}$ dejando exponentes positivos. 1.1. Aplica la propiedad de potencias de potencias: $(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ $$ (a^{-3}b^{2})^{2} = a^{-6}b^{4} $$ $$ (a^{2}b^{-4})^{-3} = a^{-6}b^{12} $$ 1.2. Multiplica las potencias con la misma base sumando exponentes: $$ a^{-6} \cdot a^{-6} = a^{-12} $$ $$ b^{4} \cdot b^{12} = b^{16} $$ 1.3. El denominador es $a^{0}b^{5} = 1 \cdot b^{5} = b^{5}$ 1.4. Divide las potencias restando exponentes: $$ \frac{a^{-12}b^{16}}{b^{5}} = a^{-12}b^{16-5} = a^{-12}b^{11} $$ 1.5. Cambia los exponentes negativos a positivos usando $x^{-m} = \frac{1}{x^{m}}$: $$ a^{-12} = \frac{1}{a^{12}} $$ Resultado final: $$ \frac{b^{11}}{a^{12}} $$ 2. Simplifica $\left( \frac{2x^{-2}y^{3}}{4x^{4}y^{-1}} \right)^{-2} \cdot (x^{2}y^{0})^{3}$ 2.1. Simplifica dentro del paréntesis: $$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x^{-2} \div x^{4} = x^{-2-4} = x^{-6} $$ $$ y^{3} \div y^{-1} = y^{3 - (-1)} = y^{4} $$ Entonces: $$ \left( \frac{1}{2} x^{-6} y^{4} \right)^{-2} \cdot (x^{2} y^{0})^{3} $$ 2.2. Aplica la potencia a cada factor: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^{2} = 4 $$ $$ (x^{-6})^{-2} = x^{12} $$ $$ (y^{4})^{-2} = y^{-8} $$ $$ (x^{2} y^{0})^{3} = x^{6} y^{0} = x^{6} $$ 2.3. Multiplica: $$ 4 \cdot x^{12} \cdot y^{-8} \cdot x^{6} = 4 x^{18} y^{-8} $$ 2.4. Cambia exponentes negativos a positivos: $$ y^{-8} = \frac{1}{y^{8}} $$ Resultado final: $$ \frac{4 x^{18}}{y^{8}} $$ 3. Simplifica $\frac{12^{4} \cdot 15^{2} \cdot 10^{3}}{18^{3} \cdot 25^{2} \cdot 2^{5}}$ descomponiendo en factores primos. 3.1. Descompón cada número en factores primos: $$ 12 = 2^{2} \cdot 3 $$ $$ 15 = 3 \cdot 5 $$ $$ 10 = 2 \cdot 5 $$ $$ 18 = 2 \cdot 3^{2} $$ $$ 25 = 5^{2} $$ $$ 2 = 2 $$ 3.2. Aplica las potencias: $$ 12^{4} = (2^{2} \cdot 3)^{4} = 2^{8} \cdot 3^{4} $$ $$ 15^{2} = (3 \cdot 5)^{2} = 3^{2} \cdot 5^{2} $$ $$ 10^{3} = (2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} $$ $$ 18^{3} = (2 \cdot 3^{2})^{3} = 2^{3} \cdot 3^{6} $$ $$ 25^{2} = 5^{4} $$ $$ 2^{5} = 2^{5} $$ 3.3. Sustituye en la fracción: $$ \frac{2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}}{2^{3} \cdot 3^{6} \cdot 5^{4} \cdot 2^{5}} $$ 3.4. Agrupa bases iguales: Numerador: $2^{8+3} \cdot 3^{4+2} \cdot 5^{2+3} = 2^{11} \cdot 3^{6} \cdot 5^{5}$ Denominador: $2^{3+5} \cdot 3^{6} \cdot 5^{4} = 2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{4}$ 3.5. Simplifica restando exponentes: $$ 2^{11-8} \cdot 3^{6-6} \cdot 5^{5-4} = 2^{3} \cdot 3^{0} \cdot 5^{1} = 2^{3} \cdot 5 $$ 3.6. Resultado final: $$ 8 \cdot 5 = 40 $$ 4. Demuestra que $\frac{3^{n+4} - 3 \cdot 3^{n+1}}{8 \cdot 3^{n+2}}$ es independiente de $n$. 4.1. Factoriza el numerador: $$ 3^{n+4} - 3 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+1} (3^{3} - 3) = 3^{n+1} (27 - 3) = 3^{n+1} \cdot 24 $$ 4.2. Sustituye en la expresión: $$ \frac{3^{n+1} \cdot 24}{8 \cdot 3^{n+2}} $$ 4.3. Simplifica la potencia de base 3: $$ \frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = 3^{(n+1)-(n+2)} = 3^{-1} = \frac{1}{3} $$ 4.4. Simplifica la fracción: $$ \frac{24}{8} = 3 $$ 4.5. Multiplica: $$ 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $$ Resultado final: La expresión es igual a 1, independiente de $n$. 10. Simplifica $\left( \frac{w^{-2}}{z^{3}} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{w^{4}z^{-2}}{w^{-1}z} \right)^{2}$ 10.1. Aplica la potencia $-1$ al primer término: $$ \left( \frac{w^{-2}}{z^{3}} \right)^{-1} = \frac{z^{3}}{w^{-2}} = z^{3} \cdot w^{2} $$ 10.2. Simplifica el segundo término dentro del paréntesis: $$ \frac{w^{4} z^{-2}}{w^{-1} z} = w^{4 - (-1)} \cdot z^{-2 - 1} = w^{5} z^{-3} $$ 10.3. Aplica la potencia 2: $$ (w^{5} z^{-3})^{2} = w^{10} z^{-6} $$ 10.4. Multiplica los dos términos: $$ (z^{3} w^{2}) \cdot (w^{10} z^{-6}) = w^{2+10} z^{3 + (-6)} = w^{12} z^{-3} $$ 10.5. Cambia el exponente negativo a positivo: $$ z^{-3} = \frac{1}{z^{3}} $$ Resultado final: $$ \frac{w^{12}}{z^{3}} $$