Precio Ingreso Utilidad 505Bcc

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene que el precio por botella es $p$ d\'olares, el volumen de ventas es $x = 24 - 2p$ (en cientos de miles de botellas por semana). La C\'amara compra a $2$ d\'olares por botella y vende a $p$ d\'olares. 2. **Ingreso total:** El ingreso total $I$ es el precio por botella multiplicado por el n\'umero de botellas vendidas: $$I = p \times x = p(24 - 2p)$$ 3. **Ingreso total dado:** Se quiere que el ingreso total sea $7$ millones de d\'olares. Como $x$ est\'a en cientos de miles, el ingreso total en millones es: $$I = p(24 - 2p) \times 100,000 \times 1 = 7,000,000$$ Pero para simplificar, trabajamos con $x$ en cientos de miles y $I$ en millones, entonces: $$I = p(24 - 2p) = 7$$ 4. **Resolver para $p$ en ingreso total:** $$p(24 - 2p) = 7$$ $$24p - 2p^2 = 7$$ $$-2p^2 + 24p - 7 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar: $$2p^2 - 24p + 7 = 0$$ 5. **Usar la f\'ormula cuadr\'atica:** $$p = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \times 2 \times 7}}{2 \times 2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 56}}{4} = \frac{24 \pm \sqrt{520}}{4}$$ 6. **Calcular la ra\'iz cuadrada:** $$\sqrt{520} = \sqrt{4 \times 130} = 2\sqrt{130} \approx 2 \times 11.4018 = 22.8036$$ 7. **Soluciones para $p$:** $$p_1 = \frac{24 + 22.8036}{4} = \frac{46.8036}{4} = 11.7009$$ $$p_2 = \frac{24 - 22.8036}{4} = \frac{1.1964}{4} = 0.2991$$ 8. **Interpretaci\'on:** El precio $p$ debe ser aproximadamente $11.70$ o $0.30$ d\'olares para que el ingreso total sea $7$ millones. 9. **Utilidad:** La utilidad $U$ es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Costo por botella es $2$ d\'olares, entonces el costo total es: $$C = 2 \times x = 2(24 - 2p)$$ 10. **Expresi\'on de utilidad:** $$U = I - C = p(24 - 2p) - 2(24 - 2p)$$ $$U = 24p - 2p^2 - 48 + 4p = -2p^2 + 28p - 48$$ 11. **Utilidad dada:** Se quiere que la utilidad sea $4.8$ millones: $$-2p^2 + 28p - 48 = 4.8$$ $$-2p^2 + 28p - 52.8 = 0$$ Multiplicamos por $-1$: $$2p^2 - 28p + 52.8 = 0$$ 12. **Resolver con la f\'ormula cuadr\'atica:** $$p = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \times 2 \times 52.8}}{2 \times 2} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 422.4}}{4} = \frac{28 \pm \sqrt{361.6}}{4}$$ 13. **Calcular la ra\'iz cuadrada:** $$\sqrt{361.6} \approx 19.02$$ 14. **Soluciones para $p$:** $$p_1 = \frac{28 + 19.02}{4} = \frac{47.02}{4} = 11.755$$ $$p_2 = \frac{28 - 19.02}{4} = \frac{8.98}{4} = 2.245$$ 15. **Interpretaci\'on:** El precio $p$ debe ser aproximadamente $11.76$ o $2.25$ d\'olares para que la utilidad sea $4.8$ millones. **Respuesta final:** - Para ingreso total de $7$ millones: $p \approx 11.70$ o $p \approx 0.30$. - Para utilidad de $4.8$ millones: $p \approx 11.76$ o $p \approx 2.25$.