Rødder Polynomium 6Ab4A3

1. **Problem:** Vi skal finde for hvilke værdier af $c$ polynomiet $f(x) = -x^2 - 2x + c$ har henholdsvis ingen, én eller to rødder. 2. **Formel:** Antallet af rødder bestemmes af diskriminanten $\Delta$ for andengradsligningen $ax^2 + bx + c = 0$, hvor $$\Delta = b^2 - 4ac$$ 3. **Vigtige regler:** - Hvis $\Delta < 0$, har ligningen ingen reelle rødder. - Hvis $\Delta = 0$, har ligningen én reel rod. - Hvis $\Delta > 0$, har ligningen to reelle rødder. 4. **Identificer koefficienter:** Her er $a = -1$, $b = -2$, og konstantleddet er $c$ (samme notation, men her er det parameteren). 5. **Beregn diskriminanten:** $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot c = 4 + 4c = 4(1 + c)$$ 6. **Undersøg diskriminanten for de tre tilfælde:** - Ingen rødder: $$\Delta < 0 \Rightarrow 4(1 + c) < 0 \Rightarrow 1 + c < 0 \Rightarrow c < -1$$ - Én rod: $$\Delta = 0 \Rightarrow 4(1 + c) = 0 \Rightarrow 1 + c = 0 \Rightarrow c = -1$$ - To rødder: $$\Delta > 0 \Rightarrow 4(1 + c) > 0 \Rightarrow 1 + c > 0 \Rightarrow c > -1$$ 7. **Svar i intervalform:** - Ingen rødder for $c \in (-\infty, -1)$ - Én rod for $c = -1$ - To rødder for $c \in (-1, \infty)$ 8. **Forklaring:** Da parablen åbner nedad (fordi $a = -1 < 0$), er toppunktet et maksimum i $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. Værdien i toppunktet er $$f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + c = -1 + 2 + c = c + 1$$ Hvis $c < -1$, er toppunktets værdi negativ, og parablen ligger under $x$-aksen, så der er ingen rødder. Hvis $c = -1$, rører parablen $x$-aksen i toppunktet, altså én rod. Hvis $c > -1$, krydser parablen $x$-aksen to gange, altså to rødder. **Konklusion:** Du kan skrive: $c < -1$ så parablen har ingen rødder fordi $c < -1$.