1. نبدأ بكتابة التعبير المعطى: $$\frac{\sqrt{7} - 3\sqrt{5}}{\sqrt{7} + 3\sqrt{5}}$$ 2. لحل هذا النوع من الكسور التي تحتوي على جذور في المقام، نستخدم خاصية ضرب البسط والمقام في المرافق (conjugate) للمقام لإزالة الجذر من المقام. 3. المرافق للمقام هو: $$\sqrt{7} - 3\sqrt{5}$$ 4. نضرب البسط والمقام في هذا المرافق: $$\frac{(\sqrt{7} - 3\sqrt{5})(\sqrt{7} - 3\sqrt{5})}{(\sqrt{7} + 3\sqrt{5})(\sqrt{7} - 3\sqrt{5})}$$ 5. نستخدم صيغة الفرق بين مربعين في المقام: $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$ حيث $$a = \sqrt{7}, \quad b = 3\sqrt{5}$$ 6. نحسب المقام: $$a^2 - b^2 = (\sqrt{7})^2 - (3\sqrt{5})^2 = 7 - 9 \times 5 = 7 - 45 = -38$$ 7. نحسب البسط باستخدام التربيع: $$(\sqrt{7} - 3\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \sqrt{7} \times 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 7 - 6\sqrt{35} + 45 = 52 - 6\sqrt{35}$$ 8. إذن التعبير المبسط هو: $$\frac{52 - 6\sqrt{35}}{-38} = -\frac{52 - 6\sqrt{35}}{38} = -\frac{52}{38} + \frac{6\sqrt{35}}{38}$$ 9. نبسط الكسور: $$-\frac{52}{38} = -\frac{26}{19}, \quad \frac{6}{38} = \frac{3}{19}$$ 10. النتيجة النهائية: $$-\frac{26}{19} + \frac{3\sqrt{35}}{19} = \frac{3\sqrt{35} - 26}{19}$$ إذن، $$\frac{\sqrt{7} - 3\sqrt{5}}{\sqrt{7} + 3\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{35} - 26}{19}$$