1. مسئله را بیان می‌کنیم: دنباله‌ای به صورت بازگشتی تعریف شده است: $$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$$ با شرایط اولیه: $$a_0 = 1, \quad a_2 = 4$$ 2. هدف یافتن رابطه کلی برای $a_n$ است. 3. ابتدا باید مقدار $a_1$ را پیدا کنیم چون شرط اولیه $a_1$ داده نشده است. از رابطه بازگشتی برای $n=2$ استفاده می‌کنیم: $$a_2 = 2a_1 - a_0$$ جایگذاری مقادیر داده شده: $$4 = 2a_1 - 1$$ 4. معادله را حل می‌کنیم: $$4 + 1 = 2a_1$$ $$5 = 2a_1$$ $$a_1 = \frac{5}{2}$$ 5. حال معادله بازگشتی را به صورت کلی حل می‌کنیم. معادله مشخصه: $$r^2 - 2r + 1 = 0$$ که معادل است با: $$(r-1)^2 = 0$$ 6. ریشه دوگانه $r=1$ است. بنابراین جواب کلی به شکل زیر است: $$a_n = (A + Bn)1^n = A + Bn$$ 7. با استفاده از شرایط اولیه مقدار $A$ و $B$ را پیدا می‌کنیم: $$a_0 = A + B \cdot 0 = A = 1$$ $$a_1 = A + B = \frac{5}{2}$$ 8. از این دو معادله داریم: $$1 + B = \frac{5}{2}$$ $$B = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$$ 9. پس رابطه کلی دنباله به صورت زیر است: $$\boxed{a_n = 1 + \frac{3}{2}n}$$