Question: Démonstration par récurrence
Professeur : Mohamed El Maazouzi
Année scolaire : 2026-2027
Proposition : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$P(n)$ :
$\sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}$
C’est-à-dire :
$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}$
1) Initialisation Pour $n = 0$ :
$\sum_{k=0}^0 \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \left(-\frac{1}{3}\right)^0 = 1$
$\frac{3}{4} - \frac{(-1)^{0+1}}{4 \times 3^0} = \frac{3}{4} - \frac{-1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$P(0)$ est vraie
2) Hérédité Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P(n)$ vraie :
$\sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}$ (HR)
Montrons que $P(n + 1)$ est vraie :
$P(n + 1)$ :
$\sum_{k=0}^{n+1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+2}}{4 \times 3^{n+1}}$
Démonstration :
$S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k + \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}$
$= \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} + \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}}$
On met le dernier terme au même dénominateur $4 \times 3^{n+1}$ :
$S_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} + \frac{4 \times (-1)^{n+1}}{4 \times 3^{n+1}}$
Or $4 \times 3^{n+1} = 12 \times 3^n$, donc :
$S_{n+1} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} \left( -1 + \frac{4 \times 3^n}{3^{n+1}} \right)$
Simplifions : $\frac{4 \times 3^n}{3^{n+1}} = \frac{4}{3}$, donc :
$S_{n+1} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} \times \left( -1 + \frac{4}{3} \right) = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^{n+1}}$
Or $(-1)^{n+1} = -(-1)^{n+2}$, donc :
$S_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+2}}{4 \times 3^{n+1}}$
$P(n + 1)$ est vraie
3) Conclusion D’après le principe de récurrence :
$\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}$
1. **Énoncé du problème** : Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la somme $S_n = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k$ vérifie la formule $$S_n = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}.$$
2. **Initialisation** : Pour $n=0$, calculons $S_0$ :
$$S_0 = \sum_{k=0}^0 \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \left(-\frac{1}{3}\right)^0 = 1.$$
Calculons le membre de droite pour $n=0$ :
$$\frac{3}{4} - \frac{(-1)^{0+1}}{4 \times 3^0} = \frac{3}{4} - \frac{-1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1.$$
Donc $P(0)$ est vraie.
3. **Hérédité** : Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire que
$$\sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}.$$
Montrons que $P(n+1)$ est vraie :
$$\sum_{k=0}^{n+1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+2}}{4 \times 3^{n+1}}.$$
4. **Calcul de $S_{n+1}$** :
$$S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k + \left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}.$$
Par hypothèse de récurrence (HR), on remplace la somme partielle :
$$S_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} + \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}}.$$
5. **Mise au même dénominateur** :
Le dernier terme s'écrit avec dénominateur $4 \times 3^{n+1}$ :
$$\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{4 \times (-1)^{n+1}}{4 \times 3^{n+1}}.$$
Donc
$$S_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} + \frac{4 \times (-1)^{n+1}}{4 \times 3^{n+1}}.$$
6. **Simplification** :
On remarque que $4 \times 3^{n+1} = 4 \times 3 \times 3^n = 12 \times 3^n$.
On factorise le terme en $(-1)^{n+1}$ :
$$S_{n+1} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} \left(-1 + \frac{4}{3}\right).$$
Calculons l'expression entre parenthèses :
$$-1 + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 4}{3} = \frac{1}{3}.$$
Donc
$$S_{n+1} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^{n+1}}.$$
7. **Changement de signe** :
On utilise la propriété $(-1)^{n+1} = -(-1)^{n+2}$ :
$$S_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+2}}{4 \times 3^{n+1}}.$$
Cela correspond exactement à la formule $P(n+1)$.
8. **Conclusion** : Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$\boxed{\sum_{k=0}^n \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{3}{4} - \frac{(-1)^{n+1}}{4 \times 3^n}}.$$