Question: Resuelva la siguiente ecuación y verifique sus soluciones.
8 - 1/t - 7/t^2 = 0
El conjunto solución es { }. (Escriba un entero o una fracción. Utilice una coma para separar sus respuestas).
1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$8 - \frac{1}{t} - \frac{7}{t^2} = 0$$ y encontrar el conjunto solución.
2. Para resolver, multiplicamos toda la ecuación por $$t^2$$ para eliminar los denominadores, recordando que $$t \neq 0$$:
$$t^2 \times 8 - t^2 \times \frac{1}{t} - t^2 \times \frac{7}{t^2} = 0 \times t^2$$
Esto da:
$$8t^2 - t \cancel{^2} \times \frac{1}{t} - \cancel{t^2} \times \frac{7}{\cancel{t^2}} = 0$$
Simplificando los términos cancelados:
$$8t^2 - t - 7 = 0$$
3. Ahora tenemos una ecuación cuadrática:
$$8t^2 - t - 7 = 0$$
4. Usamos la fórmula cuadrática para resolver:
$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
donde $$a=8$$, $$b=-1$$, y $$c=-7$$.
5. Calculamos el discriminante:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 8 \times (-7) = 1 + 224 = 225$$
6. Calculamos las raíces:
$$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \times 8} = \frac{1 \pm 15}{16}$$
7. Obtenemos dos soluciones:
- $$t_1 = \frac{1 + 15}{16} = \frac{16}{16} = 1$$
- $$t_2 = \frac{1 - 15}{16} = \frac{-14}{16} = -\frac{7}{8}$$
8. Verificamos que ninguna solución hace que el denominador original sea cero. Como $$t \neq 0$$ y nuestras soluciones son $$1$$ y $$-\frac{7}{8}$$, ambas válidas.
9. Por lo tanto, el conjunto solución es:
$${1, -\frac{7}{8}}$$