Question: Latihan 2.4
1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.
a. $\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}}$
b. $(5\sqrt{x^5})(3\sqrt[3]{x})$
c. $\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$
2. Rasionalan bentuk berikut ini.
a. $\frac{2}{\sqrt[4]{b^3}}$
b. $\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$
c. $\frac{m}{\sqrt{m} + n}$
1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini.
1.a. Sederhanakan $\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}}\right)^{\frac{1}{2}}$.
- Langkah pertama, sederhanakan pecahan di dalam tanda kurung:
$$\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-\frac{1}{4}}} = \frac{8}{16} \cdot x^5 \cdot y^{-4 - (-\frac{1}{4})} = \frac{8}{16} x^5 y^{-4 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} x^5 y^{-\frac{15}{4}}$$
- Langkah kedua, ambil akar kuadrat dari hasil tersebut:
$$\left(\frac{1}{2} x^5 y^{-\frac{15}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} x^{5 \cdot \frac{1}{2}} y^{-\frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} x^{\frac{5}{2}} y^{-\frac{15}{8}}$$
- Jadi, hasil akhirnya adalah:
$$\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{2} y^{\frac{15}{8}}}$$
1.b. Sederhanakan $(5\sqrt{x^5})(3\sqrt[3]{x})$.
- Ubah bentuk akar menjadi pangkat:
$$5 x^{\frac{5}{2}} \times 3 x^{\frac{1}{3}} = 15 x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{3}}$$
- Jumlahkan pangkat:
$$\frac{5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{15}{6} + \frac{2}{6} = \frac{17}{6}$$
- Jadi, hasilnya:
$$15 x^{\frac{17}{6}}$$
1.c. Sederhanakan $\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{p^{\frac{1}{4}}q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}}q^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$.
- Sederhanakan pecahan pertama:
$$\frac{p^5 q^{-10}}{p^5 q^{-4}} = p^{5-5} q^{-10 - (-4)} = p^0 q^{-6} = q^{-6}$$
- Ambil akar kuadrat:
$$\left(q^{-6}\right)^{\frac{1}{2}} = q^{-3}$$
- Sederhanakan pecahan kedua:
$$\frac{p^{\frac{1}{4}} q^{-\frac{1}{2}}}{p^{-\frac{1}{2}} q^{-\frac{1}{2}}} = p^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})} q^{-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = p^{\frac{3}{4}} q^0 = p^{\frac{3}{4}}$$
- Ambil akar kuadrat:
$$\left(p^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{3}{8}}$$
- Kalikan hasil kedua akar:
$$q^{-3} p^{\frac{3}{8}} = \frac{p^{\frac{3}{8}}}{q^3}$$
2. Rasionalan bentuk berikut ini.
2.a. Rasionalkan $\frac{2}{\sqrt[4]{b^3}}$.
- Ubah akar pangkat menjadi:
$$\frac{2}{b^{\frac{3}{4}}}$$
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan $b^{\frac{1}{4}}$ agar pangkat di penyebut menjadi 1:
$$\frac{2}{b^{\frac{3}{4}}} \times \frac{b^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}}} = \frac{2 b^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}} = \frac{2 b^{\frac{1}{4}}}{b^1} = \frac{2 b^{\frac{1}{4}}}{b}$$
2.b. Rasionalkan $\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$.
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat $\sqrt{3} - \sqrt{5}$:
$$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} = - (\sqrt{3} - \sqrt{5})$$
- Jadi hasilnya:
$$-\sqrt{3} + \sqrt{5}$$
2.c. Rasionalkan $\frac{m}{\sqrt{m} + n}$.
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat $\sqrt{m} - n$:
$$\frac{m}{\sqrt{m} + n} \times \frac{\sqrt{m} - n}{\sqrt{m} - n} = \frac{m(\sqrt{m} - n)}{(\sqrt{m})^2 - n^2} = \frac{m \sqrt{m} - m n}{m - n^2}$$
- Jadi hasil rasionalnya adalah:
$$\frac{m \sqrt{m} - m n}{m - n^2}$$