Sequence Monotonicity 0C4B16

1. បញ្ហា: សិក្សាអថេរភាពនៃស្វុីត $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$។ 2. យើងចង់ដឹងថា $a_n$ កើន ឬថយ នៅពេល $n$ កើន។ 3. យើងអាចសរសេរ $a_n$ ជាទម្រង់ផ្សេង ដើម្បីងាយស្រួលវិភាគ៖ $$a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ 4. ពីរូបមន្តនេះ យើងឃើញថា $a_n$ ជាចំនួនវិជ្ជមានសម្រាប់គ្រប់ $n$ ពីព្រោះដែនកំណត់គឺ $n \geq 1$ និងដែនកំណត់នៃស្វុីតគឺ $n \in \mathbb{N}$។ 5. ដើម្បីសិក្សាអថេរភាព យើងពិនិត្យ $a_{n+1} - a_n$៖ $$a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}, \quad a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ 6. គណនា $a_{n+1} - a_n$៖ $$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) - (\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$$ 7. សម្រួលខាងលើ៖ $$= \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} - \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+2}}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$$ 8. ពីព្រោះ $\sqrt{n} < \sqrt{n+2}$ សូមចំណាំថា $\sqrt{n} - \sqrt{n+2} < 0$។ 9. ដូច្នេះ $a_{n+1} - a_n < 0$ សម្រាប់គ្រប់ $n$។ 10. នេះមានន័យថា $a_n$ ជាស្វុីតថយចុះ។ 11. សង្ខេប៖ ស្វុីត $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ ជាស្វុីតថយចុះ។