Simplification Rationnels Dfebc7

1. **Énoncé du problème :** Nous devons simplifier plusieurs nombres rationnels et résoudre des équations. --- ### Exercice 2 : Simplification des fractions 2.1. Calculer $$\frac{(-12) \times 55 \times 3}{-15}$$ $$= \frac{-12 \times 55 \times 3}{-15} = \frac{-1980}{-15}$$ 2.2. Simplifions $$\frac{-1980}{-15}$$ en divisant numérateur et dénominateur par 15 : $$\frac{\cancel{-1980}^{132}}{\cancel{-15}^{1}} = 132$$ 2.3. Calculer $$\frac{35 \times 27}{(-21) \times 63} = \frac{945}{-1323}$$ Divisons numérateur et dénominateur par 27 : $$\frac{\cancel{945}^{35}}{\cancel{-1323}^{-49}} = \frac{35}{-49}$$ Divisons par 7 : $$\frac{\cancel{35}^{5}}{\cancel{-49}^{-7}} = \frac{5}{-7} = -\frac{5}{7}$$ 2.4. Simplifier $$\frac{72}{45}$$ Divisons par 9 : $$\frac{\cancel{72}^{8}}{\cancel{45}^{5}} = \frac{8}{5}$$ 2.5. Simplifier $$\frac{-135}{90}$$ Divisons par 45 : $$\frac{\cancel{-135}^{-3}}{\cancel{90}^{2}} = -\frac{3}{2}$$ --- ### Exercice 3 : Compléter les égalités 3.1. $$\frac{3}{8} = \frac{-21}{x} \Rightarrow 3x = -21 \times 8 = -168 \Rightarrow x = \frac{-168}{3} = -56$$ 3.2. $$\frac{8}{5} = \frac{-56}{y} \Rightarrow 8y = -56 \times 5 = -280 \Rightarrow y = \frac{-280}{8} = -35$$ 3.3. $$\frac{-72}{z} = \frac{9}{-32} \Rightarrow -72 \times (-32) = 9z \Rightarrow 2304 = 9z \Rightarrow z = \frac{2304}{9} = 256$$ 3.4. $$\frac{24}{-3} = \frac{-48}{w} \Rightarrow 24w = -3 \times (-48) = 144 \Rightarrow w = \frac{144}{24} = 6$$ 3.5. Pour $$\frac{a}{128} = b$$, il manque données pour compléter. --- ### Exercice 4 : Résolution d'équations 4.1. $$\frac{-15}{x} = \frac{20}{8}$$ Cross-multiplier : $$-15 \times 8 = 20 \times x \Rightarrow -120 = 20x \Rightarrow x = \frac{-120}{20} = -6$$ 4.2. $$\frac{5x}{6} = \frac{-11}{8}$$ Cross-multiplier : $$5x \times 8 = -11 \times 6 \Rightarrow 40x = -66 \Rightarrow x = \frac{-66}{40} = -\frac{33}{20}$$ 4.3. $$\frac{7}{x+1} = \frac{3}{-5}$$ Cross-multiplier : $$7 \times (-5) = 3(x+1) \Rightarrow -35 = 3x + 3 \Rightarrow 3x = -38 \Rightarrow x = -\frac{38}{3}$$ --- ### Exercice 5 : Calculs et simplifications 5.1. $$A = \frac{-5}{-3} + \frac{4}{7} = \frac{5}{3} + \frac{4}{7}$$ PPCM de 3 et 7 est 21 : $$= \frac{5 \times 7}{21} + \frac{4 \times 3}{21} = \frac{35}{21} + \frac{12}{21} = \frac{47}{21}$$ 5.2. $$B = \frac{-2}{5} + 1 = \frac{-2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{3}{5}$$ 5.3. $$C = \frac{-5}{21} - \frac{4}{9}$$ PPCM de 21 et 9 est 63 : $$= \frac{-5 \times 3}{63} - \frac{4 \times 7}{63} = \frac{-15}{63} - \frac{28}{63} = \frac{-43}{63}$$ 5.4. $$D = \frac{5}{3} + \frac{7}{4} - \frac{5}{3} + \frac{9}{4}$$ Simplifions par regroupement : $$\left( \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \right) + \left( \frac{7}{4} + \frac{9}{4} \right) = 0 + \frac{16}{4} = 4$$ 5.5. $$E = \frac{-1}{3} - \frac{5}{3} = \frac{-6}{3} = -2$$ 5.6. $$F = \frac{-8}{21} - \left(-\frac{5}{15}\right) = \frac{-8}{21} + \frac{5}{15}$$ PPCM de 21 et 15 est 105 : $$= \frac{-8 \times 5}{105} + \frac{5 \times 7}{105} = \frac{-40}{105} + \frac{35}{105} = \frac{-5}{105} = -\frac{1}{21}$$ 5.7. $$G = 3.2 - 11 = -7.8$$ 5.8. $$H = \frac{-15}{18} + \frac{35}{21} + \frac{-25}{10}$$ PPCM de 18, 21, 10 est 630 : $$= \frac{-15 \times 35}{630} + \frac{35 \times 30}{630} + \frac{-25 \times 63}{630} = \frac{-525}{630} + \frac{1050}{630} - \frac{1575}{630} = \frac{-1050}{630} = -\frac{1050}{630}$$ Simplifions : $$\frac{-1050}{630} = -\frac{35}{21} = -\frac{5}{3}$$ --- ### Exercice 6 : 6.1. $a + b = -9$, calculer $$X = a + 5b$$ Remplaçons $a = -9 - b$ : $$X = (-9 - b) + 5b = -9 + 4b$$ 6.2. Simplifier $$Y = 4x + 5 \times \frac{4}{5} + 1 - \frac{7}{20}$$ Calculons : $$5 \times \frac{4}{5} = 4$$ Donc : $$Y = 4x + 4 + 1 - \frac{7}{20} = 4x + 5 - \frac{7}{20}$$ Mettons $5 = \frac{100}{20}$ : $$Y = 4x + \frac{100}{20} - \frac{7}{20} = 4x + \frac{93}{20}$$ 6.3. Calculer $Y$ pour $x = -\frac{7}{25}$ : $$Y = 4 \times \left(-\frac{7}{25}\right) + \frac{93}{20} = -\frac{28}{25} + \frac{93}{20}$$ PPCM de 25 et 20 est 100 : $$= -\frac{28 \times 4}{100} + \frac{93 \times 5}{100} = -\frac{112}{100} + \frac{465}{100} = \frac{353}{100} = 3.53$$ --- ### Exercice 7 : Calculs avec parenthèses 7.1. Calculer $$M = \frac{7}{13} - \left[ \frac{7}{12} - \left( \frac{21}{28} - \frac{7}{13} \right) + \frac{5}{6} \right]$$ Calculons l'intérieur : $$\frac{21}{28} - \frac{7}{13}$$ PPCM 28 et 13 = 364 : $$= \frac{21 \times 13}{364} - \frac{7 \times 28}{364} = \frac{273}{364} - \frac{196}{364} = \frac{77}{364} = \frac{7}{33.09}$$ Gardons fraction exacte $\frac{77}{364}$. Ensuite : $$\frac{7}{12} - \frac{77}{364} + \frac{5}{6}$$ PPCM 12, 364, 6 est 1092 : $$\frac{7 \times 91}{1092} - \frac{77 \times 3}{1092} + \frac{5 \times 182}{1092} = \frac{637}{1092} - \frac{231}{1092} + \frac{910}{1092} = \frac{1316}{1092} = \frac{329}{273}$$ Enfin : $$M = \frac{7}{13} - \frac{329}{273}$$ PPCM 13 et 273 est 273 : $$\frac{7 \times 21}{273} - \frac{329}{273} = \frac{147}{273} - \frac{329}{273} = -\frac{182}{273} = -\frac{2}{3}$$ 7.2. Calculer $$N = \frac{11}{13} - \left[ \frac{8}{19} - \left( \frac{33}{12} - \frac{11}{13} \right) \right] - \left( \frac{15}{12} + \frac{11}{19} \right)$$ Calculons l'intérieur : $$\frac{33}{12} - \frac{11}{13}$$ PPCM 12 et 13 = 156 : $$\frac{33 \times 13}{156} - \frac{11 \times 12}{156} = \frac{429}{156} - \frac{132}{156} = \frac{297}{156} = \frac{99}{52}$$ Ensuite : $$\frac{8}{19} - \frac{99}{52}$$ PPCM 19 et 52 = 988 : $$\frac{8 \times 52}{988} - \frac{99 \times 19}{988} = \frac{416}{988} - \frac{1881}{988} = -\frac{1465}{988}$$ Puis : $$\frac{11}{13} - \left(-\frac{1465}{988}\right) = \frac{11}{13} + \frac{1465}{988}$$ PPCM 13 et 988 = 12844 : $$\frac{11 \times 988}{12844} + \frac{1465 \times 13}{12844} = \frac{10868}{12844} + \frac{19045}{12844} = \frac{29913}{12844}$$ Enfin : $$\left( \frac{15}{12} + \frac{11}{19} \right)$$ PPCM 12 et 19 = 228 : $$\frac{15 \times 19}{228} + \frac{11 \times 12}{228} = \frac{285}{228} + \frac{132}{228} = \frac{417}{228} = \frac{139}{76}$$ Donc : $$N = \frac{29913}{12844} - \frac{139}{76}$$ PPCM 12844 et 76 = 12844 (car 76 divise 12844) : $$\frac{29913}{12844} - \frac{139 \times 169}{12844} = \frac{29913}{12844} - \frac{23491}{12844} = \frac{9422}{12844} = \frac{4711}{6422}$$ --- **Réponses finales :** - Exercice 2 : $132$, $-\frac{5}{7}$, $\frac{8}{5}$, $-\frac{3}{2}$ - Exercice 3 : $x = -56$, $y = -35$, $z = 256$, $w = 6$ - Exercice 4 : $x = -6$, $x = -\frac{33}{20}$, $x = -\frac{38}{3}$ - Exercice 5 : $A = \frac{47}{21}$, $B = \frac{3}{5}$, $C = -\frac{43}{63}$, $D = 4$, $E = -2$, $F = -\frac{1}{21}$, $G = -7.8$, $H = -\frac{5}{3}$ - Exercice 6 : $X = -9 + 4b$, $Y = 4x + \frac{93}{20}$, $Y(-\frac{7}{25}) = \frac{353}{100}$ - Exercice 7 : $M = -\frac{2}{3}$, $N = \frac{4711}{6422}$