Question: Uji Kompetensi
1. Selesaikanlah
a. $\left(\frac{x^{-5}y^4}{xy^3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{x^7y^{-3}}{x^{-4}y^6}\right)^{-\frac{1}{2}},\ x\neq0,\ y\neq0$
b. $\frac{(m^{10}n^{-2})^3(m^5n^{-5})^3}{mn},\ m\neq0,\ n\neq0$
c. $\frac{p+q}{\sqrt{p}-\sqrt{q}},\ p\neq0,\ q\neq0$
2. Sebuah koloni bakteri terdiri atas 500 bakteri yang akan membelah menjadi dua setiap 1 jam.
1. Selesaikan soal berikut:
### a. $\left(\frac{x^{-5}y^4}{xy^3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{x^7y^{-3}}{x^{-4}y^6}\right)^{-\frac{1}{2}}$
1. Tuliskan ulang ekspresi dengan aturan pangkat:
$$\left(\frac{x^{-5}y^4}{xy^3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{x^7y^{-3}}{x^{-4}y^6}\right)^{-\frac{1}{2}}$$
2. Sederhanakan setiap pecahan di dalam tanda kurung:
$$\frac{x^{-5}y^4}{xy^3} = x^{-5-1} y^{4-3} = x^{-6} y^{1}$$
$$\frac{x^7 y^{-3}}{x^{-4} y^6} = x^{7-(-4)} y^{-3-6} = x^{11} y^{-9}$$
3. Masukkan kembali ke ekspresi:
$$\left(x^{-6} y^{1}\right)^{-2} \cdot \left(x^{11} y^{-9}\right)^{-\frac{1}{2}}$$
4. Gunakan aturan pangkat $\left(a^m\right)^n = a^{m n}$:
$$x^{-6 \cdot (-2)} y^{1 \cdot (-2)} \cdot x^{11 \cdot (-\frac{1}{2})} y^{-9 \cdot (-\frac{1}{2})} = x^{12} y^{-2} \cdot x^{-\frac{11}{2}} y^{\frac{9}{2}}$$
5. Gabungkan pangkat dengan basis sama:
$$x^{12 - \frac{11}{2}} y^{-2 + \frac{9}{2}}$$
6. Hitung pangkatnya:
$$12 - \frac{11}{2} = \frac{24}{2} - \frac{11}{2} = \frac{13}{2}$$
$$-2 + \frac{9}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{9}{2} = \frac{5}{2}$$
7. Jadi hasilnya:
$$x^{\frac{13}{2}} y^{\frac{5}{2}}$$
---
### b. $\frac{(m^{10}n^{-2})^3(m^5n^{-5})^3}{mn}$
1. Gunakan aturan pangkat pada perkalian:
$$(m^{10} n^{-2})^3 = m^{10 \cdot 3} n^{-2 \cdot 3} = m^{30} n^{-6}$$
$$(m^5 n^{-5})^3 = m^{5 \cdot 3} n^{-5 \cdot 3} = m^{15} n^{-15}$$
2. Kalikan hasilnya:
$$m^{30} n^{-6} \cdot m^{15} n^{-15} = m^{30+15} n^{-6-15} = m^{45} n^{-21}$$
3. Bagi dengan $mn = m^1 n^1$:
$$\frac{m^{45} n^{-21}}{m^1 n^1} = m^{45-1} n^{-21-1} = m^{44} n^{-22}$$
4. Tuliskan hasil akhir:
$$m^{44} n^{-22}$$
---
### c. $\frac{p+q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$
1. Rasionalisasi penyebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat $\sqrt{p} + \sqrt{q}$:
$$\frac{p+q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} \cdot \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} = \frac{(p+q)(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{(\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2}$$
2. Hitung penyebut:
$$(\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2 = p - q$$
3. Jadi ekspresi menjadi:
$$\frac{(p+q)(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{p - q}$$
---
2. Soal tentang koloni bakteri tidak diberikan pertanyaan spesifik, jadi tidak diselesaikan.
**Jawaban akhir:**
- a. $x^{\frac{13}{2}} y^{\frac{5}{2}}$
- b. $m^{44} n^{-22}$
- c. $\frac{(p+q)(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{p - q}$