Valori Assoluti Varie Feef70

1. Problema 2: Risolvere $$2 |x - 1| = -1$$ - Poiché il valore assoluto è sempre non negativo, $$|x - 1| \geq 0$$, moltiplicato per 2 è sempre $$\geq 0$$. - L'equazione chiede che sia uguale a $$-1$$, che è impossibile. **Conclusione:** Nessuna soluzione. 2. Problema 4: Risolvere $$|x - 1| = 4$$ - Definizione di valore assoluto: $$|A| = B \iff A = B \text{ o } A = -B$$ con $$B \geq 0$$. - Qui $$A = x - 1$$ e $$B = 4$$. - Quindi: $$x - 1 = 4 \quad \text{o} \quad x - 1 = -4$$ - Risolvendo: $$x = 5 \quad \text{o} \quad x = -3$$ 3. Problema 6: Risolvere $$|x^3 + 1| = 1$$ - Usando la definizione: $$x^3 + 1 = 1 \quad \text{o} \quad x^3 + 1 = -1$$ - Risolvendo: $$x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x^3 = -2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$$ 4. Problema 8: Risolvere $$|x - 2| = 2x - 1$$ - Il valore assoluto è $$\geq 0$$, quindi il lato destro $$2x - 1$$ deve essere $$\geq 0$$ per avere soluzioni. - Condizione: $$2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$ - Due casi: 1. $$x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$, quindi: $$|x - 2| = x - 2$$ Equazione: $$x - 2 = 2x - 1$$ $$-2 + 1 = 2x - x$$ $$-1 = x$$ Ma $$x \geq 2$$, quindi scartiamo. 2. $$x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2$$, quindi: $$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$$ Equazione: $$2 - x = 2x - 1$$ $$2 + 1 = 2x + x$$ $$3 = 3x$$ $$x = 1$$ Verifica condizione $$x \geq \frac{1}{2}$$ e $$x < 2$$: vero. **Soluzione:** $$x = 1$$ 5. Problema 10: Risolvere $$|x^2 - 2x| = 3x$$ - Il lato destro $$3x$$ deve essere $$\geq 0$$ per soluzioni: $$3x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$$ - Due casi: 1. $$x^2 - 2x \geq 0$$, quindi: $$|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$$ Equazione: $$x^2 - 2x = 3x$$ $$x^2 - 5x = 0$$ $$x(x - 5) = 0$$ $$x = 0 \text{ o } x = 5$$ Verifica condizione $$x \geq 0$$: entrambi validi. 2. $$x^2 - 2x < 0$$, quindi: $$|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$$ Equazione: $$-x^2 + 2x = 3x$$ $$-x^2 + 2x - 3x = 0$$ $$-x^2 - x = 0$$ $$-x(x + 1) = 0$$ $$x = 0 \text{ o } x = -1$$ Verifica condizione $$x < 0$$: solo $$x = -1$$ valido. **Soluzioni:** $$x = -1, 0, 5$$ 6. Problema 12: Risolvere $$|x| = x^2 - 1$$ - Il lato destro $$x^2 - 1$$ può essere positivo o negativo. - Due casi: 1. $$x \geq 0$$, quindi $$|x| = x$$ Equazione: $$x = x^2 - 1$$ $$x^2 - x - 1 = 0$$ Risolviamo con formula quadratica: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Verifica $$x \geq 0$$: $$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$$ scartato $$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0$$ valido 2. $$x < 0$$, quindi $$|x| = -x$$ Equazione: $$-x = x^2 - 1$$ $$x^2 + x - 1 = 0$$ Risolviamo: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Verifica $$x < 0$$: $$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} > 0$$ scartato $$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0$$ valido **Soluzioni:** $$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$ 7. Problema 14: Risolvere $$|x| = |2x - 3|$$ - Due casi per uguagliare valori assoluti: - Caso 1: $$x = 2x - 3$$ $$x - 2x = -3$$ $$-x = -3$$ $$x = 3$$ - Caso 2: $$x = -(2x - 3) = -2x + 3$$ $$x + 2x = 3$$ $$3x = 3$$ $$x = 1$$ **Soluzioni:** $$x = 1, 3$$ 8. Problema 16: Risolvere $$|x^2 - 3x| = 2|x|$$ - Consideriamo i segni di $$x$$ e $$x^2 - 3x$$. - Caso 1: $$x \geq 0$$, quindi $$|x| = x$$ - Sotto-caso 1a: $$x^2 - 3x \geq 0$$ $$|x^2 - 3x| = x^2 - 3x$$ Equazione: $$x^2 - 3x = 2x$$ $$x^2 - 5x = 0$$ $$x(x - 5) = 0$$ $$x = 0, 5$$ Verifica $$x \geq 0$$: entrambi validi - Sotto-caso 1b: $$x^2 - 3x < 0$$ $$|x^2 - 3x| = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x$$ Equazione: $$-x^2 + 3x = 2x$$ $$-x^2 + x = 0$$ $$-x(x - 1) = 0$$ $$x = 0, 1$$ Verifica $$x \geq 0$$ e $$x^2 - 3x < 0$$: - Per $$x=0$$: $$0 - 0 = 0 \not< 0$$ scartato - Per $$x=1$$: $$1 - 3 = -2 < 0$$ valido - Caso 2: $$x < 0$$, quindi $$|x| = -x$$ - Sotto-caso 2a: $$x^2 - 3x \geq 0$$ $$|x^2 - 3x| = x^2 - 3x$$ Equazione: $$x^2 - 3x = 2(-x) = -2x$$ $$x^2 - 3x + 2x = 0$$ $$x^2 - x = 0$$ $$x(x - 1) = 0$$ $$x = 0, 1$$ Verifica $$x < 0$$: nessuno valido - Sotto-caso 2b: $$x^2 - 3x < 0$$ $$|x^2 - 3x| = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x$$ Equazione: $$-x^2 + 3x = 2(-x) = -2x$$ $$-x^2 + 3x + 2x = 0$$ $$-x^2 + 5x = 0$$ $$-x(x - 5) = 0$$ $$x = 0, 5$$ Verifica $$x < 0$$: nessuno valido **Soluzioni finali:** $$x = 1, 5$$ 9. Problema 18: Risolvere $$\left|\frac{2x - 1}{x + 3}\right| = 1$$ - Definizione valore assoluto: $$\frac{2x - 1}{x + 3} = 1 \quad \text{o} \quad \frac{2x - 1}{x + 3} = -1$$ - Caso 1: $$\frac{2x - 1}{x + 3} = 1$$ $$2x - 1 = x + 3$$ $$2x - x = 3 + 1$$ $$x = 4$$ Verifica denominatore $$x + 3 \neq 0$$: $$4 + 3 = 7 \neq 0$$ valido - Caso 2: $$\frac{2x - 1}{x + 3} = -1$$ $$2x - 1 = - (x + 3) = -x - 3$$ $$2x + x = -3 + 1$$ $$3x = -2$$ $$x = -\frac{2}{3}$$ Verifica denominatore $$-\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3} \neq 0$$ valido **Soluzioni:** $$x = 4, -\frac{2}{3}$$ 10. Problema 20: Risolvere $$\left|\frac{2x - 1}{x + 1}\right| = x$$ - Il lato destro $$x$$ deve essere $$\geq 0$$ per soluzioni: $$x \geq 0$$ - Due casi: 1. $$\frac{2x - 1}{x + 1} = x$$ $$2x - 1 = x(x + 1) = x^2 + x$$ $$0 = x^2 + x - 2x + 1 = x^2 - x + 1$$ Il discriminante $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ Nessuna soluzione reale. 2. $$\frac{2x - 1}{x + 1} = -x$$ $$2x - 1 = -x(x + 1) = -x^2 - x$$ $$0 = -x^2 - x - 2x + 1 = -x^2 - 3x + 1$$ Moltiplichiamo per $$-1$$: $$x^2 + 3x - 1 = 0$$ Discriminante: $$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$$ Soluzioni: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$$ Verifica $$x \geq 0$$: - $$\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < 0$$ scartato - $$\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} > 0$$ valido - Verifica denominatore $$x + 1 \neq 0$$ per $$x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$$: valore diverso da $$-1$$ quindi valido. **Soluzione:** $$x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$$