Question: Est ce que ceci est just pour b) $x \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \neq 1 + \frac{x}{2}$, - on suppose que $\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2}$. $x+1 = 1 + x + \frac{x^2}{4}$ $0 = \frac{x^2}{4}$ $x^2 = 0$ et $x = 0$
1. Énoncé du problème :
Vérifier si l'égalité $\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2}$ est vraie pour $x \neq 0$.
2. Supposons que $\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2}$.
3. Élevons les deux côtés au carré pour éliminer la racine :
$$\left(\sqrt{x+1}\right)^2 = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2$$
$$x + 1 = 1 + x + \frac{x^2}{4}$$
4. Simplifions l'équation :
$$x + 1 - 1 - x = \frac{x^2}{4}$$
$$0 = \frac{x^2}{4}$$
5. Multiplions par 4 pour éliminer le dénominateur :
$$\cancel{4} \times 0 = \cancel{4} \times \frac{x^2}{4}$$
$$0 = x^2$$
6. Résolvons pour $x$ :
$$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$
7. Conclusion :
L'égalité $\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2}$ est vraie uniquement pour $x = 0$.
8. Comme la condition initiale est $x \neq 0$, cette égalité n'est pas vraie pour $x \neq 0$.
Donc, la démonstration est correcte pour la partie b).