Question: XII. Analizar gráficamente las condiciones de continuidad para la función cuya gráfica se muestra, en los puntos indicados, y concluya si es continua o discontinua. Si es discontinua indicar el tipo de discontinuidad que presenta. a) $x = c_1$ $\wedge$ $x = c_2$ y = $f(x)$ K L M N $c_1$ $c_2$ Graph shape: A piecewise red curve rises to a local maximum near the y-axis, then descends to an open circle at $x = c_1$; from a filled point at $x = c_1$ on a lower branch it curves downward to an open circle at $x = c_2$, then rises steeply to the upper right. position_hint: top-left. b) $x = c_1$ $\wedge$ $x = c_2$ y = $f(x)$ K L M N $c_1$ $c_2$ Graph shape: A red curve on the left descends steeply, reaches a minimum below the x-axis, then rises to an open circle at $x = c_1$; from that open circle a line segment slopes down to a filled point at $x = c_2$, while another upper-right branch starts at an open circle at $x = c_2$ and increases to the right. position_hint: bottom-left. User: como resuelvo estos ejercicios

1. **Planteamiento del problema:** Analizar la continuidad de la función $f(x)$ en los puntos $x = c_1$ y $x = c_2$ para dos gráficas dadas. 2. **Reglas importantes para continuidad:** Una función $f(x)$ es continua en un punto $x = a$ si se cumplen tres condiciones: - $f(a)$ está definida. - Existe el límite $\,\lim_{x \to a} f(x)$. - El límite es igual al valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. 3. **Análisis gráfico para el inciso a):** - En $x = c_1$, la gráfica muestra un círculo abierto (no está definido el valor ahí) y un punto lleno en un valor diferente. - Esto indica que $f(c_1)$ está definido en el punto lleno, pero el límite lateral izquierdo y derecho no coinciden con ese valor. - Por lo tanto, hay una discontinuidad de salto en $x = c_1$. - En $x = c_2$, también hay un círculo abierto y un punto lleno en otro valor. - Esto indica otra discontinuidad de salto en $x = c_2$. 4. **Análisis gráfico para el inciso b):** - En $x = c_1$, hay un círculo abierto y la función no está definida en ese punto, pero el límite existe. - Esto es una discontinuidad evitable (removible) si redefinimos $f(c_1)$ igual al límite. - En $x = c_2$, hay un punto lleno y un círculo abierto en otro valor. - Esto indica una discontinuidad de salto en $x = c_2$. 5. **Conclusión:** - Para el inciso a), la función es discontinua en $c_1$ y $c_2$ con discontinuidades de salto. - Para el inciso b), la función tiene una discontinuidad evitable en $c_1$ y una discontinuidad de salto en $c_2$. Este análisis se basa en observar si el valor de la función y los límites laterales coinciden en los puntos indicados.