Determinante Gramm Independencia Ccd6Fc

1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar si las funciones $y_1 = e^{3x}$ y $y_2 = e^{-3x}$ son linealmente independientes en el intervalo $(1,2)$ usando el determinante de Gram. 2. **Fórmula del determinante de Gram:** Para dos funciones $f$ y $g$, el determinante de Gram se define como: $$G = \begin{vmatrix} \langle f,f \rangle & \langle f,g \rangle \\ \langle g,f \rangle & \langle g,g \rangle \end{vmatrix}$$ donde $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \, dx$ es el producto interno en el intervalo $[a,b]$. 3. **Cálculo de los productos internos:** - $\langle y_1,y_1 \rangle = \int_1^2 e^{3x} e^{3x} \, dx = \int_1^2 e^{6x} \, dx$ - $\langle y_1,y_2 \rangle = \int_1^2 e^{3x} e^{-3x} \, dx = \int_1^2 e^{0} \, dx = \int_1^2 1 \, dx$ - $\langle y_2,y_2 \rangle = \int_1^2 e^{-3x} e^{-3x} \, dx = \int_1^2 e^{-6x} \, dx$ 4. **Evaluamos cada integral:** - $\langle y_1,y_1 \rangle = \int_1^2 e^{6x} \, dx = \left[ \frac{e^{6x}}{6} \right]_1^2 = \frac{e^{12} - e^{6}}{6}$ - $\langle y_1,y_2 \rangle = \int_1^2 1 \, dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1$ - $\langle y_2,y_2 \rangle = \int_1^2 e^{-6x} \, dx = \left[ \frac{e^{-6x}}{-6} \right]_1^2 = \frac{e^{-12} - e^{-6}}{-6} = \frac{e^{-6} - e^{-12}}{6}$ 5. **Formamos el determinante de Gram:** $$G = \begin{vmatrix} \frac{e^{12} - e^{6}}{6} & 1 \\ 1 & \frac{e^{-6} - e^{-12}}{6} \end{vmatrix} = \left( \frac{e^{12} - e^{6}}{6} \right) \left( \frac{e^{-6} - e^{-12}}{6} \right) - 1 \cdot 1$$ 6. **Simplificamos:** $$G = \frac{(e^{12} - e^{6})(e^{-6} - e^{-12})}{36} - 1$$ Multiplicamos los términos del numerador: $$ (e^{12} - e^{6})(e^{-6} - e^{-12}) = e^{12} e^{-6} - e^{12} e^{-12} - e^{6} e^{-6} + e^{6} e^{-12} = e^{6} - e^{0} - e^{0} + e^{-6} = e^{6} - 1 - 1 + e^{-6} = e^{6} + e^{-6} - 2$$ Entonces: $$G = \frac{e^{6} + e^{-6} - 2}{36} - 1 = \frac{e^{6} + e^{-6} - 2 - 36}{36} = \frac{e^{6} + e^{-6} - 38}{36}$$ 7. **Análisis del signo de $G$:** Sabemos que $e^{6} + e^{-6} \geq 2$ (por desigualdad de AM-GM), pero $2 - 38 = -36$, entonces: $$e^{6} + e^{-6} - 38 < 0$$ por lo que $G < 0$. 8. **Conclusión:** El determinante de Gram es diferente de cero ($G \neq 0$), lo que implica que las funciones $y_1 = e^{3x}$ y $y_2 = e^{-3x}$ son linealmente independientes en el intervalo $(1,2)$. **Respuesta final:** Las funciones son linealmente independientes en $(1,2)$ porque el determinante de Gram es distinto de cero.